에르고드 이론

역사적으로 에르고드 이론은 통계역학의 기초가 되는 에르고드 가설(ergodic hypothesis)의 수학적 증명을 얻기 위한 노력에서 시작되었다.

많은 경우 물리량들의 시간 진화는 정상적으로 1차 상미분방정식으로 묘사할 수 있으며 이런 형태로 주어진 수학적인 계를 통틀어 동역학계라고 할 수 있다. 동역학계의 상태는 미분방정식의 각 변수들이 축을 이루는 위상공간 내에서의 점의 위치로 나타낼 수 있다. 동역학계의 진화는 미분방정식의 해에 해당되며 따라서 어떤 순간의 동역학계의 상태가 주어진다면 이후 다른 시간에서의 상태가 방정식에 의해 유일하게 결정되는 결정론적인 본질을 갖게 된다.

동시에 이와 같은 결정론적인 본질에도 불구하고, 동역학계는 매우 불규칙적이고 무작위한 혼돈운동을 할 수 있다. 혼돈의 존재, 규칙적 운동으로부터 혼돈으로의 전이와 혼돈의 발생에 대한 여러 가지 경로들이 잘 알려져 있으며, 이 이론이 난류(turbulence) 등과 같은 매우 복잡한 운동의 발생을 설명한다고 인식되고 있다(혼돈이론).

규칙적 운동은 운동의 자유도가 적은 경우이며 위상공간에서 점·원·원환체(torus) 등 비교적 간단한 기하학적 구조의 궤도를 갖는다.

규칙적 운동은 분기(bifurcation)를 통해 좀더 자유도가 많은 운동으로 전이된다. 혼돈으로 전이되었을 때 운동의 자유도는 무한대가 되며 혼돈궤도는 매우 복잡한 구조를 갖는다. 일반적으로 혼돈운동은 해밀턴 동역학계의 경우 혼돈층(chaotic layer), 소산계(dissipative system)의 경우에는 이상끌개(strange attractor) 등의 불변집합(invariant set) 위에서 일어난다. 이런 불변집합체는 일반적으로 쪽거리(fractal) 구조를 갖는다.

혼돈이 더욱 진행되었을 때 운동궤도에 대한 기하학적 정보는 더이상 의미를 잃게 되어 동역학계의 운동을 통계적으로 기술할 필요성이 대두된다.

동역학계에 대한 통계론은 동역학적 양들의 시간평균값을 다룬다. 에르고드 이론은 동역학적 양의 시간평균값이 어떤 불변측도에 의해 가중된 앙상블(ensemble)에 대한 평균값과 같다는 것을 말한다. 앙상블은 동일한 동역학계들의 집합이며, 여기서 각 동역학계의 상태는 동역학적으로 가능한 불변집합 위의 모든 상태를 취할 수 있다.

또한 각 동역학계는 독립적으로 진화하기 때문에 다른 동역학계의 상태가 서로 같을 필요는 없다. 불변측도 ρ는 앙상블 밀도라고도 부르며 각 상태에서의 값이 그 상태에 있는 앙상블의 구성원의 개수에 비례하는 분포함수이다. 또한 r는 다음의 관계식을 만족한다.

여기서 E는 불변집합 내의 임의의 부분집합이며 f^－t(E)는 E 안의 어떤 상태 x가 역시간 방향으로 t만큼 진화한 상태를 의미한다.

즉 불변측도는 시간이 흘러도 앙상블 밀도가 변하지 않는 경우에 해당한다. ρ는 다시 여러 개의 불변측도들로 분해될 수 있는데, 이와 같이 더이상의 분해가 불가능할 때 이를 에르고드 측도라고 한다. ρ(x)가 에르고드 측도일 때 모든 동역학 함수 즉 φ(x)에 대해 다음의 관계식이 거의 모든 초기조건 x(0)에서 성립한다는 것이 에르고드 정리(ergodic theorem)이다.

이와 같은 성질이 있는 계를 에르고드계라고 한다.

동역학의 진화가 에르고드하다는 성질은 동역학적 양의 평형값을 앙상블을 이용하여 구할 수 있게 해준다. 이는 동역학계가 평형상태에 도달하면 시간평균값과 평형값이 같게 되기 때문이다. 하지만 에르고드 성질은 비평형상태에서 진화한 동역학계가 평형상태에 도달하게 될지에 대해서는 말해 주지 않는다. 이를 위해서는 섞임(mixing)이라는 좀더 강한 조건이 필요하다. 에르고드 성질이 혼돈운동을 암시하지 않는 반면, 섞임은 리아푸노프 지수가 양인 혼돈운동을 암시한다. 즉 섞임계는 항상 에르고드계이고 에르고드계보다 무작위도(randomness)가 큰 계라고 할 수 있다.

섞임계는 비가역적인 과정을 통해 평형상태에 도달한다. 동역학의 섞임 성질을 증명하는 것은 일반적으로 매우 어려우며, 증명된 예로는 딱딱한 구의 계(hardsphere system) 등이 있다. 동역학의 통계적 성질 및 이에 관련된 양들로는 에르고드성, 섞임, 리아푸노프 지수 외에도 KS 엔트로피, 쪽거리 차원(fractal dimenstion) 등이 있으며, 이 양들을 이용하여 통계적 성질에 따라 동역학계들을 분류하고 분류된 계들 간에 계층적 구조를 부여할 수 있다.

섞임계보다 무작위도가 큰 계들로는 차례대로 K계(K-system), 베르누이계(Bernoulli system) 등이 있다. 무작위도에 있어 최상층에 있는 베르누이계는 주사위를 던졌을 때 얻는 숫자들의 무작위한 수열과 동등한 동역학을 보인다.