실수
다른 표기 언어 real number , 實數요약 실수는 크기나 시간처럼 연속으로 변하는 양을 측정하는 데 사용하며, 셈으로부터 나온 자연수 1, 2, 3,……과는 대조를 이룬다. 실수에는 양과 음의 정수·분수(또는 유리수)·무리수가 있다. 무리수는 소수전개에서 같은 부분이 되풀이되지 않는 반면에 유리수는 1/6 = 0.16666…… 또는 2/7 = 0.285714285714……와 같이 숫자나 수모임이 되풀이되는 소수전개식을 갖는다. 0.42442444244442……와 같은 소수는 규칙적으로 반복되는 수의 군이 없으므로 무리수이다. 가장 잘 알려진 무리수는 정수계수를 갖는 대수방정식의 근인 대수적 수이다. 실수는 완비성이라는 중요한 수학적 성질로 특징지을 수 있으며, 이는 상계를 갖는 모든 집합이 유리수에는 없는 성질인 최소상계를 갖는다는 것을 뜻한다.
실수는 크기나 시간처럼 연속으로 변하는 양을 측정하는 데 사용하며, 셈으로부터 나온 자연수 1, 2, 3,……과는 대조를 이룬다. 전기 현상에서 발생하는 것과 같은 효과를 수학적인 해석으로 단순화시키기 위해 사용하는 √-1 즉 기호 i를 갖는 복소수와 실수는 '실'(real)이라는 용어로 구별된다. 실수에는 양과 음의 정수·분수(또는 유리수)·무리수가 있다.
무리수는 소수전개에서 같은 부분이 되풀이되지 않는 반면에 유리수는 1/6 = 0.16666…… 또는 2/7 = 0.285714285714……와 같이 숫자나 수모임이 되풀이되는 소수전개식을 갖는다. 0.42442444244442……와 같은 소수는 규칙적으로 반복되는 수의 군이 없으므로 무리수이다.
가장 잘 알려진 무리수는 정수계수를 갖는 대수방정식의 근인 대수적 수이다. 예를 들어 방정식 x2─2=0의 해는 대수적 무리수인 √2이다. π 와 e 같은 수들은 이러한 모든 대수방정식의 해가 될 수 없으며, 이를 초월무리수라 한다.
이런 수들은 가끔 수열의 형태인 분수들의 무한합으로 표현될 수 있다. 실수는 완비성(完備性)이라는 중요한 수학적 성질로 특징지울 수 있으며, 이는 상계(上界)를 갖는 모든 집합이 유리수에는 없는 성질인 최소상계(最小上界)를 갖는다는 것을 뜻한다. 예를 들면 제곱이 2보다 작은 모든 유리수들의 집합은 √2가 유리수가 아니므로 최소상계를 갖지 않는다. 유리수와 무리수 모두는 무한히 많지만, 무리수의 무한대는 유리수의 무한대보다 크다. 즉 유리수는 무리수의 부분집합과 일대일 대응이 가능하지만 그 역은 불가능하다. 실수족은 일반적으로 헤브루 문자 알레프(aleph)로 표기되고 정수와 동일시되는 처음의 초한수(超限數)를 포함하도록 확장된다.