초한수

무한집합들을 비교해보면 그들이 모두 무한이라 해도 크기가 다르다. 예를 들면 정수·유리수·실수의 집합들은 모두 무한이나 각각은 그 다음 집합의 부분집합이다. 부분집합 관계로 집합 크기의 순서를 정하면 많은 분류가 발생하고, 다른 원소를 갖는 집합의 크기를 비교할 방법이 없다.

다른 원소를 갖는 집합은 원소들을 서로 짝지우고 어느 집합에 원소가 남았는지를 조사해 비교할 수 있다. 분수들을 특별한 방법으로 나열하면, 그 집합과 정수의 집합에 한 원소도 남아 있지 않게 서로 짝지을 수 있다. 이렇게 정수와 짝지을 수 있는 무한집합을 가산(可算), 또는 가부번(可附番) 무한집합이라 한다. 실수는 이런 방법으로 짝지을 수 없음이 증명되었다.

따라서 실수의 집합을 비가산(非可算) 무한집합이라고 부르며, 가산집합보다 더 큰 집합으로 간주한다. 실수를 포함하는 모든 함수들의 집합과 같이 더 큰 집합도 있다. 무한집합의 크기는 히브리 문자 알레프(aleph) 밑에 첨자를 붙여 표시하는 기수(基數)로 나타낸다.

알레프-0은 정수와 대응하는 집합의 기수를 뜻하고, 알레프-1과 알레프-2는 각각 실수와 실수를 포함하는 함수에 대응하는 집합을 나타낸다. 주어진 집합의 모든 부분집합들로 이루어진 집합은 원래 집합보다 더 큰 기수를 가지며, 증가하는 크기의 기수의 무한한 연속을 가져온다.