예를 들면 2의 제곱근은 정수와 분수만으로 나타낼 수 없다. 이와 비슷한 측정문제로는 각 변이 단위길이인 정4각형의 대각선 길이를 구하는 것이 있다. 이 대각선의 길이는 단위길이에 분수를 곱한 것으로 표현되지 않는다. 따라서 수학사에서는 수의 개념을 확장시켜 무리수를 포함하는 것이 필요하게 되었다. 각 무리수는 소수점 아래에 몇 자리의 숫자가 규칙적으로 반복함이 없이 전개되는 무한소수로 표현될 수 있다. 이 수들은 유리수와 함께 실수를 이룬다.→ 실수
