3각법

평면3각법에서 다루는 3각형은 2차원평면에서 동일 직선 위에 있지 않은 3점을 택해 각 점을 직선으로 연결하여 만들며, 구면3각법에서 다루는 3각형은 3차원구의 2차원표면 위에 3점(모두 같은 대원 위에 있지 않음)을 택해 구에서 각 2점을 지나는 대원의 호를 따라 각 점을 연결하여 만든다.

삼각법

구면3각법은 고대 그리스 시대에 천문학의 정보를 효율적·체계적으로 얻기 위한 실제적인 요구에 의해 생겨났다.

평면3각법은 구면3각법의 연구와 방법에 내포되어 있었는데 15세기 유럽의 측량·무역·항해술에서 필요하게 되자 비로소 독자적인 분야로 연구·응용되기 시작했다. 구면3각법은 평면3각법보다 먼저 연구되었지만, 평면3각법의 본질을 알면 구면3각법을 이해하기 쉽다. 평면3각법은 실제로 모든 형태의 3각형을 다루지만, 대개는 직각3각형을 다룸으로써 접근할 수 있다. 직각3각형에서 0~90° 사이의 각 A를 다른 한 각이 되도록 작도하면 평면3각형의 3각의 합은 180°이므로, 남은 한 각은 (90－A)°이다.

직각의 대변을 빗변이라 하고, 각 A의 대변을 높이, 각 A에 이웃한 변을 밑변이라 하면(그림), 각 변의 길이로 만들어지는 비(比)가 6개 가능하며 따라서 각 A에 대한 6개의 3각함수가 정의된다.

sinA = 높이/빗변, cosA = 밑변/빗변

tanA = 높이/밑변, secA = 빗변/밑변

cscA = 빗변/높이, cotA = 밑변/높이

여러 각에 대한 3각함수 값들이 표로 만들어져 있으며, 이 표를 이용하면 평면3각법을 측량·공학과 같은 문제에 적용할 수 있다.

예를 들어 높이를 측정해야 하는 건물이 있다. 이 건물이 지면과 수직으로 서 있다면 건물 바닥, 그곳에서 좀 떨어진 거리에 있는 지점, 건물 꼭대기를 각각 3꼭지점으로 하는 직각3각형을 만들 수 있다. 각 A를 측정지점에서 건물 꼭대기를 올려다본 각도라고 하면, 이 3각형에서 다음과 같은 관계가 성립된다.

tanA = 높이/밑변 = 건물의 높이/건물과 측정지점 사이의 거리

건물과 측정지점과의 거리를 알고 있고, 각 A는 측량기구로 측정할 수 있으며, tanA값은 3각함수표에서 찾을 수 있으므로 이 건물의 높이는 위의 3각함수관계로부터 구할 수 있다.

각 A를 갖는 임의의 3각형(반드시 직각일 필요는 없음)을 연구하는 평면3각법의 한 분야는 각 A의 3각함수들 사이의 관계를 세우는 것이며, 이를 3각항등식이라 한다.

가장 기본적인 3각항등식은 sin²A ＋ cos²A=1이다. 즉 한 각에 대한 사인값의 제곱과 코사인값의 제곱을 합하면 항상 1이다. 또다른 연구 분야는 어떤 각의 3각함수값을 다른 각의 3각함수값으로 계산하는 것이며, 사인의 2배각공식인 sin 2A=2(sinA)(cosA)를 예로 들 수 있다. 이 공식을 이용하면, 각 2A에 대한 사인값은 각 A의 사인값과 코사인값이 알려져 있을 때 이를 이용해 구할 수 있다.

다른 3각함수들에 대해서도 이와 비슷한 2배각공식이 알려져 있다.

구면3각법의 시작은 '3각법의 아버지'로 알려진 니케아의 천문학자 히파르코스(BC 180~125)의 연구로 거슬러올라간다. 그리스와 그 이전 시대의 천문학에서는 여러 별들의 위치로 1일 시간이나 1년의 주기를 알 수 있었다.

천문학자들은 여러 별들 사이의 각도를 도표로 만들었고, 히파르코스는 천구상(天球狀)에 있는 대원의 호(구면을 따라 측정한 2점 사이의 거리)와 현(구면 위의 2점을 직선으로 측정한 거리) 사이의 관계를 체계적으로 연구했다.

AD 2세기 알렉산드리아의 천문학자 프톨레마이오스는 히파르코스의 연구를 이어받아 대원의 호와 현을 계산했다. 그리스의 3각법은 프톨레마이오스에 의해 최고조에 달했으며, 그의 연구들은 저서 〈알마게스트 Almagest〉에 나와 있다.

그는 구면3각형의 각과 변 사이의 관계식을 얻었으며, 이는 오늘날 3각법에 대한 많은 기본관계식, 항등식과 동치를 이루고 있다. 예를 들면 프톨레마이오스는 사인의 2배각공식과 2각의 합에 대한 사인 공식이 동치인 것을 발견했다.