벡터 해석학

다른 표기 언어 vector analysis

요약 크기와 방향을 가진 양을 다루는 수학의 한 분야.

벡터 대수

전형적인 벡터는 시점 A에서 종점 B로의 질점(質點)의 변위를 나타내는 유향선분 AB(그림1)이다.

벡터는 스칼라와 구별하기 위해 관례상 굵은 글씨체로 표시한다. 그림1에서 벡터 AB는 a, 그 길이(또는 크기)는 |a|로 표시한다. 대부분의 경우 벡터의 시점은 중요하지 않으므로 만일 길이와 방향이 같으면 두 벡터는 서로 같다고 한다.

두 벡터 a와 b의 상등은, 보통 기호를 사용해 a=b로 나타낸다.

벡터의 기본적인 대수연산은 기하학적으로 설명할 수 있다. 그림1에서 AB=a가 A에서 B로의 질점 변위를 나타내고 계속해서 질점이 B에서 C로 움직여 BC=b가 되면, A에서 C로의 1개의 변위 AC=c로 된다.

따라서 a＋b=c라고 쓰는 것이 타당하다. a와 b의 합 c를 작도하면 평행4변형법칙과 같은 결과가 나온다. 평행4변형법칙에서 합 벡터 c는 벡터 AB와 AD를 두 변으로 하는 평행4변형의 대각선 AC로 나타난다. 벡터 BC=b에서 시점 B의 위치는 중요하지 않으므로 BC=AD다.

그림1에서 AD＋DC=AC이므로 벡터 덧셈에 대한 교환법칙

a＋b=b＋a ①

가 성립한다.

또한 결합법칙

(a＋b)＋c=a＋(b＋c) ②

가 성립함을 쉽게 알 수 있으므로 식 ②의 괄호는 생략해도 무방하다.

s가 스칼라일 때 sa나 as는 길이가 |s||a|이고 s〉0이면 a의 방향, s＜0이면 a와 반대 방향인 벡터로 정의된다.

따라서 a와 －a는 크기는 같으나 방향이 반대인 벡터이다. 앞서 말한 정의와 잘 알려진 스칼라 수(s와 t로 나타냄)의 성질에 따라

s(ta)=(st)a

(s＋t)a=sa＋ta ③

s(a＋b)=sa＋sb

가 성립함을 알 수 있다.

법칙 ①, ②, ③은 일반 대수법칙과 같으므로 벡터를 포함하는 연립선형방정식을 풀기 위해 일반대수학법칙을 사용할 수 있다. 이러한 사실은 복잡한 기하작도를 필요로 하는 유클리드 기하학의 여러 정리들을 단지 대수적 방법에 의해서 유도할 수 있게 한다.

벡터의 좌표계

물리학의 경험법칙은 물리적 관계와 기하학적 도형을 표현하기 위해 선택된 특정한 또는 임의의 기준좌표계에 의존하지 않으므로, 벡터 해석은 물리적 우주의 연구에 이상적인 도구로 쓰인다.

특정 기준좌표계의 도입으로 벡터와 벡터 성분을 나타내는 수 집합이 서로 대응되었으며, 선분에 대한 연산법칙으로부터 이들 수집합에서의 명확한 연산규칙을 유도할 수 있다.

3차원 공간에서 한 평면 위에 있지 않은 3개의 벡터(기저 벡터)를 선택하면, 벡터A는 평행6면체의 대각선으로 유일하게 표현될 수 있다. 이때 평행6면체의 모서리는 방향이 기저 벡터와 같은 A의 성분이다. 데카르트 좌표계는 널리 사용되는 것으로 서로 수직인 세 단위 벡터(즉 길이가 1인 벡터) i, j, k를 기저 벡터로 한다(그림3). 이 좌표계에서 벡터는 A=xi＋yj＋zk로 표현되며, 이때 x,y,z는 좌표축 위로의 A의 사영이다.

두 벡터 A₁=x₁i＋x₂j＋x₃k와 A₂=y₁i＋y₂j＋y₃k의 합은 법칙 ③을 사용해

A₁＋A₂=(x₁＋y₁)i＋(x₂＋y₂)j＋(x₃＋y₃)k ⑦

가 된다.

따라서 데카르트 좌표계에서 A₁과 A₂의 합은 (x₁＋y₁, x₂＋y₂, x₃＋y₃)에 의해 결정되는 벡터이다. 또한 i·i=j·j=k·k=1, i·j=j·k=k·i=0이므로 내적은

A₁·A₂=x₁y₁＋x₂y₂＋x₃y₃ ⑧

로 된다.

법칙 ⑥을 적용하면

A₁×A₂=(x₂y₃－x₃y₂)i ＋(x₃y₁－x₁y₃)j＋(x₁y₂－x₂y₁)k ⑨

즉 외적은 ⑨에서 i,j,k의 계수들을 성분으로 하는 벡터이다.

성분이 (x₁,x₂,x₃)인 벡터가 1×3(또는 3×1) 행렬로 표시된다면, 공식 ⑦~⑨는 행렬로 다시 표현될 수 있다.

이와 같은 재표현으로 벡터의 개념이 3차원 이상의 공간까지 일반화되었다. 예를 들어 가스의 상태는 주로 압력 p, 부피 v, 온도 T, 시간 t에 의존한다. 이때 성분(p,n,T,t)는 3차원 기준틀에서 한 점으로 표현될 수 없다.

그러나 기하학적으로 볼 수 있느냐의 여부는 대수계산에서 아무런 영향을 미치지 않으므로, 행렬

의 각 행들을 성분으로 하는 기저 벡터 a₁,a₂,a₃,a₄의 집합으로 결정된 4차원 기준좌표계를 도입해 상징적인 기하학 용어를 사용할 수 있다.

4차원 공간에서 한 벡터 x는 x=x₁a₁＋x₂a₂＋x₃a₃＋x₄a₄로 표현되며, 모든 벡터는 4개의 성분(x₁,x₂,x₃,x₄)에 의해 결정된다.

벡터의 미적분

3차원 공간에서 움직이는 질점의 시각 t인 순간의 위치는 고정된 기준점 O로부터 그려진 위치 벡터 r로 표현될 수 있다.

r의 종점은 시간 t에 따라 위치가 변하므로, r는 t의 벡터 함수이다. O를 기준점으로 잡은 데카르트 축 방향으로의 각 성분은 i, j, k의 계수이고 r=xi＋yj＋zk로 표현된다.

이 성분들이 모두 미분가능한 함수이면 시간 t에 대한 r의 도함수는 로 정의되고, 이것은 질점의 속도 v를 나타낸다. v의 데카르트 성분은 ⑩에서 i, j, k의 계수이다. 이 성분들이 또다시 미분 가능하면, ⑩을 미분해 가속도 a=dv/dt를 얻으며 로 표현된다.

스칼라 함수들의 곱에 대한 미분법칙은 벡터 함수의 내적과 외적에 대한 도함수에서도 유효하며, 벡터 함수에 대한 적분이 적절히 정의됨으로써 물리과학과 공학에서 기본 분석도구가 된 벡터 미적분학이 형성되었다.

벡터의 장론

개요

연속체역학(유체역학·탄성·공기역학·열전도·전기공학 등)의 문제에서는 어떤 영역의 각 점에서 규정된 스칼라와 벡터 함수를 고려할 필요가 있다.

스칼라 함수와 연관된 각 점을 포함하는 공간영역을 스칼라 장이라 하고, 벡터 함수로 결정되는 영역을 벡터 장이라 한다. 예를 들면 각 점에서 물체의 온도와 밀도가 결정되는 영역은 스칼라 장이고, 전기력 벡터가 주어진 대전체 주위의 영역은 벡터 장이다. 스칼라 장의 각 점에서 결정된 스칼라 함수 u(P)는 스칼라 점함수(scalar point-function)라 하고 벡터 함수 υ(P)는 벡터 점함수라 한다.

스칼라 장의 그래디언트(gradient)

점 P와 그 주변의 점 P'에서 각각의 스칼라 점함수 u(P)와 u(P')가 있고 P에서 P'로의 벡터를 △r라 할 때,

는 △r의 방향으로의 u(P)의 평균공간변화율을 나타낸다.

|△r| → 0일 때 위의 극한이 존재하면, 이 비의 극한은 △r의 방향으로의 u(P)의 공간변화율을 나타낸다. △r의 방향으로의 공간변화율이 최대인 벡터를 υ(P)의 그래디언트라 하고, grad u 또는 △u로 쓴다.

데카르트 좌표계에서는

이다.

▽u가 존재하는 스칼라 장의 각 점은 벡터 장과 연관 지을 수 있다. u(P)가 온도인 경우 ▽u는 열흐름 벡터의 방향을 나타낸다.

벡터 장의 다이버전스(divergence)

중요한 장인 스칼라 장과 벡터 장은 연속미분 가능한 벡터 점함수 υ(P) 와 연관될 수 있다.

υ(P)는 점 P를 포함하는 영역 τ안에서 정의되고 σ는 τ의 표면이라고 하자. σ에 수직이고 밖으로 향하는 단위 벡터 n 방향의 υ(P) (구체적으로 τ 안에서 움직이는 유체입자의 속도 v를 나타낸다고 생각할 수 있음)의 성분은 υ·n이다.

σ를 통해 방출되는 유체의 양은 ∫υ·ndσ이다. 이때 적분은 표면 σ의 모든 적분요소 dσ에 대한 υ·n을 합한 양을 나타낸다. 이때 단위부피 τ에 대한 유체의 선속(線束)은 (1/τ)∫σ(υ·n)dσ이고, τ→ 0일 때 즉 σ가 P를 향해 줄어들어감에 따른 위 비의 극한은 υ(P)의 다이버전스라 불리는 스칼라이다.

이와 같이 υ(P)의 다이버전스는 P로부터의 유체흐름률을 뜻하며, div υ(P) 또는 ▽·υ(P) 로 쓴다.

점 P에서 ▽·υ(P)＞0이면 P는 유체가 흘러나오는 곳이고, ▽·υ(P)＜0이면 P는 유체가 흘러들어가는 곳이다.

▽·υ(P)=0이면 P에서 유체가 전혀 방출되지 않는다. 데카르트 좌표계에서는

이다.

벡터 장의 컬(curl)

υ(P)와 관련된 중요한 벡터 장인 υ(P)의 컬 또는 ▽×υ(P)는

로 정의되어 있다.

이 벡터는 장 안의 임의의 점 P에서 유체의 각 속도를 나타낸다.

데카르트 좌표계에서는

이다.

영역의 모든 점에서 ▽×υ=0일 때에는 비(非)회전장이라 하며, υ(P)가 ▽·υ=0을 만족시키면 관상장(管狀場 solenoid field)이라고 한다.

이 2개의 특수한 장에 대한 중요성은 영역 τ안에서 정의된 모든 연속미분가능한 벡터 함수 υ(P)가 관상 벡터 함수 f(P)와 비회전 벡터 함수 g(P)의 합으로 표현될 수 있다는 사실로부터 나온다.

이 2장으로의 분리 가능성은 물리학에서 속도장과 역장(力場)에 대한 연구를 매우 단순화시켰다.

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