도함수
다른 표기 언어 derivative , 導涵數
요약
기하학적으로 함수의 도함수는 함수 그래프의 기울기이며, 좀더 정확하게는 한 점에서 접선의 기울기이다. 이 값은 직선의 기울기 공식으로 계산하지만 곡선의 기울기는 극한을 사용한다. 곡선은 각 점에 따라 기울기가 다르므로 곡선에 대한 이 비율은 선택한 점에 따라 다르다. 곡선 위의 한 점에서 기울기를 구할 때 2번째 점을 잡기가 어려운데, 보통 두 점 사이가 멀 경우에는 어느 한 점에서의 기울기가 아니라 두 점 사이에 있는 곡선의 모든 점에 대한 평균기울기가 되기 때문이다.
도함수를 계산하는 미분법은 기본정의를 거의 사용하지 않고 3가지 기본 도함수, 사칙연산, 그리고 함수를 변형시키는 방법으로 도함수를 구한다. 도함수는 미적분학과 미분방정식에서 사용되며, 속도·극대·곡선해석·근사 등의 문제에 응용된다.
기하학적으로 함수의 도함수는 함수 그래프의 기울기이며 좀더 정확하게는 한 점에서 접선(tangent line)의 기울기이다. 이 값은 직선의 기울기 공식으로 계산하지만 곡선의 기울기는 극한을 사용한다.
직선에 대한 기울기 공식은 (y1－y0)/(x1－x0)이고, (x1－x0)대신 h를, y 대신 f(x)를 사용하면, [f(x0＋h)－f(x0)]/h이다(그래프 1).
곡선은 각 점에 따라 기울기가 다르므로 곡선에 대한 이 비율은 선택한 점에 따라 다르다. 곡선 위의 어떤 점에서 기울기를 구할 때 2번째 점을 잡기가 어려운데, 일반적으로 두 점 사이가 멀 경우에는 어느 한 점에서의 기울기가 아니라 두 점 사이에 있는 곡선의 모든 점에 대한 평균기울기가 되기 때문이다(그래프 2).
이런 어려움 때문에 2번째 점을 고정하지 않고 직선의 기울기에서 처럼 h로 지정한 뒤 극한을 취한다. 이경우 극한을 구한다는 것은 h가 0으로 접근함에 따라 이 비율이 어디로 접근하는지를 찾는 과정이다. 따라서 극한비는 주어진 점에서의 실제 기울기를 나타낸다.
몫(quotient) [f(x0＋h)－f(x0)]/h는 h가 0으로 접근하면, 극한을 바로 구할 수 있는 식으로 다시 고쳐야 한다. 예를 들어 x=2에서 x2의 미분계수를 구할 경우 몫은 [(2＋h)2－22]/h이다.
분자를 전개하면 몫은 (4＋4h＋h2－4)/h=(4h＋h2)/h가 된다. 이때 h는 0은 아니지만 0에 매우 접근하며, 분모·분자는 여전히 0으로 접근하지만 h로 나누어져 4＋h만 남게 되고, h가 0에 접근하므로 이 식은 4로 수렴한다.
이를 요약하면 x0에서 f(x)의 미분계수는 f(x0), (df/dx)(x0), 또는 Df(x0)로 쓰며, 극한이 존재하면
로 정의한다. 도함수를 계산하는 미분법은 기본정의를 거의 사용하지 않고, 대신 3가지 기본 도함수, 사칙연산(＋, －, ×, ÷), 그리고 함수를 변형시키는 방법으로 도함수를 구한다(→ 미분법).
도함수는 미적분학과 미분방정식에서 사용되며 속도·극대·곡선해석·근사 등의 문제에 응용된다.