미분법
다른 표기 언어 differentiation , 微分法요약 이 이론은 추상적인 성질을 가지고 있지만 실제로는 3가지 기본 도함수, 4가지 연산규칙, 그리고 함수의 조작법 등 단지 대수적인 계산만으로도 미분할 수 있다. 3가지 기본 도함수에는 대수함수 D(xn)=nxn－1(n은 임의의 실수), 삼각함수인 D(sin x)=cos x, 지수함수인 D(ex)=ex 등이 있다. 위의 3가지가 합성된 함수는 서로 다른 두 함수 f(x)와 g(x)의 합·곱·몫을 미분한다. 합성함수를 미분하는 방법으로 연쇄규칙이라는 또다른 기본적인 규칙이 있다. 두 함수 f(x)와 g(x)의 합성함수 f(g(x))는 우선 함수 g(x)를 x값에 대해 구한 뒤 함수 f를 구해진 g(x)값에 대해서 구한다. 연쇄규칙이란 D(f(g(x)))=Df(g(x))·Dg(x)에 따라 합성함수의 도함수를 구하는 법칙이다.
이 이론은 추상적인 성질을 가지고 있지만 실제로는 3가지 기본 도함수, 4가지 연산규칙, 그리고 함수의 조작법 등 단지 대수적인 계산만으로도 미분할 수 있다. 3가지 기본 도함수에는 대수함수 D(xn)=nxn－1(n은 임의의 실수), 삼각함수인 D(sin x)=cos x, 지수함수인 D(ex)=ex 등이 있다.
위의 3가지가 합성된 함수는 다음과 같은 규칙을 사용하여 서로 다른 두 함수 f(x)와 g(x)의 합·곱·몫을 미분한다.
(a, b가 상수일 때) 합은 D(af＋bg)=aDf＋bDg, 곱셈은 D(fg)=fDg＋gDf, 몫은 D(f/g)=(gDf－fDg)/g2이다.
합성함수(合成函數)를 미분하는 방법으로 연쇄규칙이라는 또다른 기본적인 규칙이 있다. 두 함수 f(x)와 g(x)의 합성함수 f(g(x))는 우선 함수 g(x)를 x값에 대해 구한 뒤 함수 f를 구해진 g(x)값에 대해서 구한다. 예를 들면 f(x)=sin x이고 g(x)=x2이면 f(g(x))=sin x2이며 g(f(x))=(sin x)2이다. 연쇄법칙이란 D(f(g(x)))=Df(g(x))·Dg(x)에 따라 합성함수의 도함수를 구하는 법칙이다. 다시 말해 우변의 첫번째 항 Df(g(x))는 Df(x)의 도함수를 앞에서 제시한 기본법칙으로 구한 뒤 모든 변수 x를 함수 g(x)로 바꾼다. 예를 들어 이 법칙으로 sin x2을 구하면, D(sin x2)=Dsin (x2)·D(x2)=(cos x2)·2x가 된다.