퍼텐셜 에너지

퍼텐셜 에너지(potential energy)는 중력이나 전기력과 관련된 힘 장(場, force field)에서의 상대적인 위치에 의해서 결정되는 에너지로서 위치 에너지라고 부르기도 했다. 지구의 중력장에서 질량을 가진 입자의 퍼텐셜 에너지는 입자의 높이에 따라 달라지고, 전기 퍼텐셜 에너지는 전하를 가진 입자들 사이의 거리와 전하량에 의존하는 쿨롱 상호작용에 의해 결정된다. 용수철에 의한 퍼텐셜 에너지는 용수철의 길이와 추의 질량에 의해서 결정된다. 분자들 사이의 양자역학적 그리고 열역학적 상호작용에 의해서 결정되는 화학 퍼텐셜(chemical potential)과 자기장에 의한 자기 퍼텐셜 에너지도 있다. 국제 표준 단위 체계에서 퍼텐셜 에너지도 J(joule) 단위로 표시한다. 전기 퍼텐셜 에너지는 전자의 전하량 e와 전압 V를 결합한 eV(전자 볼트)를 단위로 사용하며 1 eV는 @@NAMATH_INLINE@@1.6 \times 10^{-19} J@@NAMATH_INLINE@@에 해당한다.

목차

힘 장에서 입자의 위치를 바꾸려면 퍼텐셜 에너지를 변화시키기 위한 힘(force)이 필요하다.

@@NAMATH_INLINE@@F(x) =-{dV(x) \over dx}@@NAMATH_INLINE@@

여기서 F는 힘, V는 퍼텐셜 에너지, x는 이동 거리이다. 즉 힘은 퍼텐셜 에너지의 기울기(gradient)에 해당한다. 힘을 작용시켜서 입자의 위치가 바뀔 때 에너지 변화량을 일(work)이라고 부른다.¹⁾

그림 1은 분자 사이의 상호 작용을 분자 간 거리의 함수로 나타낸 레나드-존스 퍼텐셜(Lennard-Jones potential)이다. 그림 2의 퍼텐셜 에너지는 화학 결합으로 이루어진 분자에서 원자 사이의 거리에 따라 변화하는 퍼텐셜 에너지를 나타낸 것이다. 그림 2의 퍼텐셜 에너지는 모스 퍼텐셜(Morse potential)이라고 부른다. 두 퍼텐셜에서 에너지가 최소가 되는 거리는 평형 거리(equilibrium distance)라고 부르고, 모스 퍼텐셜에서 평형 거리는 화학 결합의 길이에 해당한다.

그림 1. 분자 사이의 레나드-존스 퍼텐셜 ()

그림 2. 분자 진동 연구에 이용되는 모스 퍼텐셜(Morse potential) ()

그림 1과 2에서 두 입자 사이의 거리가 무한히 커지면, 그들 사이의 상호작용이 없어지며, 일반적으로 그때의 퍼텐셜 에너지를 0으로 정한다. 두 입자 사이의 거리가 가까워지면 두 입자 사이에는 인력이 작용한다. 평형 거리에서 퍼텐셜 에너지의 기울기는 0이기 때문에 두 입자 사이에는 힘이 작용하지 않는다. 두 입자 사이의 거리가 평형 거리보다 짧아지면 기울기의 부호가 바뀌면서 두 입자 사이에는 반발력이 작용한다.

실제 원자나 분자들 사이의 퍼텐셜 에너지는 많은 수의 전자와 원자핵들 사이에 작용하는 상호작용의 결과이기 때문에 정확한 수학적 함수(analytical function)를 찾아내기는 불가능하다. 그림 1과 2는 분자들과 원자들 사이에 나타내는 퍼텐셜 에너지를 근사적으로 나타낸 것이다.

전하량이 Q₁과 Q₂인 입자들 사이의 상호작용을 나타내는 쿨롱 퍼텐셜 에너지(Coulomb potential energy) V는 다음과 같이 나타낼 수 있다.²⁾ 쿨롱 퍼텐셜 에너지를 전하 Q₂에 의한 쿨롱 퍼텐셜 @@NAMATH_INLINE@@\phi(r)@@NAMATH_INLINE@@을 이용해서 표현하기도 한다.³⁾

@@NAMATH_INLINE@@V={Q_1 Q_2 \over{4\pi\epsilon_o r} } = Q_1 \phi(r)@@NAMATH_INLINE@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@\epsilon_o@@NAMATH_INLINE@@는 진공 유전율(vacuum permittivity)이다. 두 번째 관계에서 알 수 있듯이, 전하량과 퍼텐셜의 곱이 에너지이다. 전자 1개가 퍼텐셜(전압) 1 V로 존재할 때 퍼텐셜 에너지는 1 전자 볼트(eV)로 정의된다.⁴⁾

퍼텐셜 에너지의 미분이 힘인 것과 비슷하게 쿨롱 퍼텐셜의 미분은 전기장에 해당한다.

@@NAMATH_INLINE@@E =-{d\phi (x) \over dx }@@NAMATH_INLINE@@

위 식에서 알 수 있듯이 전기장의 단위는 @@NAMATH_INLINE@@V m^{-1}@@NAMATH_INLINE@@이다.

화학 퍼텐셜은 밀도, 온도, 압력, 상변화, 물질의 조성 등이 변화할 때 일어나는 자발적 변화의 방향을 예측하는 목적으로 흔히 사용하며 퍼텐셜 에너지가 낮아지는 방향을 알려준다. 화학 퍼텐셜은 깁스 자유 에너지(Gibbs free energy)와 다음과 같은 관계를 갖는다.

@@NAMATH_INLINE@@G = \sum_{j} n_j \mu_j@@NAMATH_INLINE@@

여기서 n_j와 μ_j는 화학종 j의 몰수와 화학 퍼텐셜이다. 화학물질로 구성된 계에서 자발적으로 일어나는 변화는 깁스 자유 에너지가 줄어드는 방향으로 일어난다. 따라서 자발적 변화는 화학 퍼텐셜이 낮은 화학종이 늘어나는 방향으로 일어나게 된다.

진자와 용수철은 그림 3에서 보여주는 것처럼 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합이 일정하게 유지되면서 움직인다. 진자와 용수철의 총 에너지(E)는 다음과 같이 운동 에너지(K)와 퍼텐셜 에너지(V)의 합으로 표현된다.

@@NAMATH_INLINE@@E = K + V={1 \over 2} mv^2+{1 \over 2} kx^2@@NAMATH_INLINE@@

진자의 단순한 진동 모형은 분자의 진동 운동에도 적용된다.

그림 3. 용수철의 퍼텐셜 에너지 ()

1. dw = - F∙dx. 힘과 이동 거리는 벡터이고, 일은 힘과 이동 거리의 스칼라곱으로 표현되는 스칼라 양이다.
2. 쿨롱 퍼텐셜 에너지를 단순히 쿨롱 에너지라고 부르기도 한다.
3. 퍼텐셜은 스칼라 퍼텐셜(scalar potential)과 벡터 퍼텐셜(vector potential)로 나뉜다.
4. 1 eV = 1.602 x 10^-19 C x 1 V = 1.602 x 10^-19 J = 96.5 kJ/mol.