모스 퍼텐셜
[ Morse potential ]
모스 퍼텐셜(Morse potential) 1929년 미국의 물리학자 모스(Philip M. Morse)가 이원자 분자의 진동 운동을 설명하기 위해 제안한 모델이다. 조화 진동자의 퍼텐셜인 조화 퍼텐셜과 달리 분자의 해리 그리고 진동의 비조화성(anharmonicity)이 어느 정도 포함되어 있어서 배진동과 복합전이가 가능하다.
모스 퍼텐셜을 따르는 모스 진동자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 분석적인 해(analytic solution)가 존재한다. 모스 진동자의 진동 에너지 준위는 조화 진동자와 마찬가지로 양자화되어 있으나, 에너지가 증가할수록 에너지 준위 사이의 간격이 줄어드는 특징을 보인다.
모스 퍼텐셜은 진동의 비조화성이 고려된 가장 간단한 형식의 모델로서 고체 표면과 원자 사이의 상호작용에도 적용된다. 그러나 3개의 매개 변수로 구성된 모스 퍼텐셜이 제한적인 것도 사실이다.
목차
모스 퍼텐셜 함수
다음 식으로 주어지는 모스 퍼텐셜 함수에는 3개의 매개 변수가 있다.
- @@NAMATH_INLINE@@V(r)= D_e [1-e^{-\beta (r-r_e)} ]^2@@NAMATH_INLINE@@
여기서 @@NAMATH_INLINE@@D_e@@NAMATH_INLINE@@는 결합 해리 에너지, @@NAMATH_INLINE@@r_e@@NAMATH_INLINE@@는 평형 결합 길이이고, @@NAMATH_INLINE@@\beta@@NAMATH_INLINE@@는 퍼텐셜의 너비를 결정하는 매개 변수이다.
그림 1은 조화 퍼텐셜과 모스 퍼텐셜 함수의 그래프를 보여준다.
위의 식에서 퍼텐셜 에너지의 기준은 @@NAMATH_INLINE@@r = r_e@@NAMATH_INLINE@@인 경우이다. 그러나 이원자 분자가 완전히 해리되었을 때(@@NAMATH_INLINE@@r = \infty@@NAMATH_INLINE@@)를 퍼텐셜 에너지의 기준으로 정의하는 것이 더 편리할 수도 있다. 즉, 위의 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
- @@NAMATH_INLINE@@V(r)= D_e [1-e^{-\beta (r-r_e)} ]^2 - D_e@@NAMATH_INLINE@@@@NAMATH_INLINE@@ = D_e [ e^{-2\beta(r-r_e)} - 2e^{-\beta(r-r_e)} ]@@NAMATH_INLINE@@
이 식에서 모스 퍼텐셜은 첫 번째의 반발 항과 두 번째의 인력 항의 합으로 표현된다.
그림 1. 모스 퍼텐셜과 조화 퍼텐셜의 비교. 두 퍼텐셜의 진동 에너지 준위도 같이 그렸다. ()
모스 진동자의 진동 에너지
모스 진동자에 대한 슈뢰딩거 방정식으로부터 구한 진동 에너지 준위는 cm-1의 단위1)로 다음과 같다.
- @@NAMATH_INLINE@@\tilde{E_v}(cm^{-1})= \tilde{\nu_e} (v+{1 \over 2}) - \tilde{\nu_e\chi_e} (v+{1 \over 2} )^2@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@v =0, 1, 2, 3, \cdots@@NAMATH_INLINE@@
여기서 @@NAMATH_INLINE@@\tilde{\nu}_e@@NAMATH_INLINE@@는 기본 진동수이고, @@NAMATH_INLINE@@\tilde{\nu_e\chi_e}@@NAMATH_INLINE@@는 비조화 상수이다.
모스 진동자의 진동 에너지는 양자화되어 있으며, 정수 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@는 진동 양자수이다. 첫 번째 항은 조화 진동자의 에너지와 같으나, 두 번째 항은 분자 진동의 비조화성으로 인하여 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@가 증가할수록 진동 에너지 준위 사이의 간격이 점점 줄어든다(그림 1).
그림 1에서 결합 해리 에너지, @@NAMATH_INLINE@@D_e@@NAMATH_INLINE@@는 퍼텐셜 에너지 최소 점으로부터의 에너지 간격이다. 모스 진동자의 경우, 결합 해리 에너지는 @@NAMATH_INLINE@@\tilde{D_e} ={ \tilde{\nu_e}^2 \over{4 \tilde{\nu_e \chi_e}} } @@NAMATH_INLINE@@으로 비조화 상수와 관련된 값을 갖는다.
그러나 실제 분자의 바닥 상태는 @@NAMATH_INLINE@@v = 0@@NAMATH_INLINE@@인 준위이므로, 실험적으로 관찰되는 해리 에너지, @@NAMATH_INLINE@@D_0@@NAMATH_INLINE@@는 가장 낮은 에너지 준위(@@NAMATH_INLINE@@v = 0@@NAMATH_INLINE@@)로부터의 에너지 간격으로 @@NAMATH_INLINE@@D_0 =D_e - E_0@@NAMATH_INLINE@@이다. @@NAMATH_INLINE@@\tilde{E_0}={1 \over 2} \tilde{\nu_e}-{1 \over 4} \tilde{\nu_e \chi_e}@@NAMATH_INLINE@@는 영점 에너지(zero-point energy)이다.
참고 자료
1. 에너지의 단위는 J 이나, 분광학에서는 종종 에너지를 @@NAMATH_INLINE@@hc@@NAMATH_INLINE@@로 나누어 파수(wavenumber) cm-1의 단위를 사용한다. 이하 식에서 ~ 기호는 에너지 단위로 cm-1을 사용한 것을 의미한다.
동의어
모스 퍼텐셜