자기 모멘트

자기 모멘트(magnetic moment)는 자기장을 생성하는 가장 작은 단위로서, 자기 쌍극자 모멘트(magnetic dipole moment)라고도 부르며, SI 단위는 @@NAMATH_INLINE@@ \mathrm{A \cdot m^2} @@NAMATH_INLINE@@이다. 막대자석의 경우, S극을 시점, N극을 종점으로 하는 벡터로 표현하며, 크기는 자석의 세기에 비례한다. 전자석과 같은 전류 고리의 경우, 자기 모멘트 벡터는 오른손을 전류 고리를 따라 감았을 때 엄지손가락이 가리키는 방향으로 정의하며 크기는 전류의 세기와 고리의 넓이에 비례한다.

물질을 구성하는 기초 입자들은 스핀에 의해 고유한 자기 모멘트를 갖기도 한다. 특히, 핵스핀이 0이 아닌 핵종들은 고유 자기 모멘트를 갖기 때문에 외부 자기장과 상호작용을 할 수 있다. 이 현상은 핵자기 공명(nuclear magnetic resonance; NMR) 분광법의 이론적 토대가 되며, 유기화합물의 구조 분석 등에 널리 이용된다.

목차

자기 모멘트는 이론적으로는 흥미 있는 개념이나, 자연계에는 자기 홀극(magnetic monopole)이 존재하지 않는다. 따라서, 자기장을 만드는 가장 기본적인 단위는 자기 쌍극자(magnetic dipole)이며, 이로부터 생기는 자기 모멘트는 막대자석의 경우 S극에서 N극을 향한다. 아래 그림에서처럼 전자석에서 오른손으로 전류 고리를 감았을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 자기 모멘트의 방향이다.¹⁾

전류 고리에서 생기는 자기 모멘트와 자기장 선 (출처:대한화학회)

이러한 전류 고리 모델에서 자기 모멘트의 크기는 전류의 크기와 고리의 넓이를 곱한 값이다. 즉 전류의 크기를 @@NAMATH_INLINE@@ i @@NAMATH_INLINE@@, 전류 고리의 면적 벡터를 @@NAMATH_INLINE@@ \mathbf{A} @@NAMATH_INLINE@@라고 할 때, 자기 모멘트 벡터 @@NAMATH_INLINE@@ \boldsymbol{\mu} @@NAMATH_INLINE@@는 다음과 같은 수식으로 표현되며, SI 단위는 @@NAMATH_INLINE@@ \mathrm{A \cdot m^2} @@NAMATH_INLINE@@이다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\boldsymbol{\mu} = i \mathbf{A} @@NAMATH_DISPLAY@@

자기 쌍극자는 외부 자기장(@@NAMATH_INLINE@@ \mathbf{B} @@NAMATH_INLINE@@)과 상호작용을 통해 에너지를 얻거나 잃을 수 있다. 이 과정에서 자기 쌍극자가 느끼는 토크(@@NAMATH_INLINE@@ \boldsymbol{\tau} @@NAMATH_INLINE@@)와 내부 에너지(@@NAMATH_INLINE@@ U_{\mathrm{int}} @@NAMATH_INLINE@@)는 다음과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\mu} \times \mathbf{B} @@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@U_{\mathrm{int}} = - \boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{B} @@NAMATH_DISPLAY@@

위의 식을 이용하여, 물체가 외부 자기장 하에서 받는 토크를 측정하여 자기 모멘트를 계산하거나, 자기장에 의한 내부 에너지의 변화를 각 방향에 대해 편미분 하는 방법을 통해 자기 모멘트를 벡터값으로 정의할 수도 있다.²⁾

@@NAMATH_DISPLAY@@\boldsymbol{\mu} = -\frac{\partial U_{\mathrm{int}}}{\partial B_x}\hat{\boldsymbol{x}} -\frac{\partial U_{\mathrm{int}}}{\partial B_y}\hat{\boldsymbol{y}} -\frac{\partial U_{\mathrm{int}}}{\partial B_z}\hat{\boldsymbol{z}} @@NAMATH_DISPLAY@@

자기 쌍극자에서 아주 멀리 떨어진 곳(@@NAMATH_INLINE@@ \boldsymbol{r} @@NAMATH_INLINE@@)에서 자기장 @@NAMATH_INLINE@@ \mathbf{B}(\boldsymbol{r}) @@NAMATH_INLINE@@은 다음 식으로 주어지며,³⁾ 자기장 선의 모양은 위의 그림과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{B(r)} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3(\boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{\hat{r}})\mathbf{\hat{r}} - \boldsymbol{\mu}}{r^3} @@NAMATH_DISPLAY@@

아래 식에 보인 것처럼, 전기 쌍극자 모멘트 @@NAMATH_INLINE@@ \boldsymbol{p} @@NAMATH_INLINE@@에서 @@NAMATH_INLINE@@ \boldsymbol{\boldsymbol{r}} @@NAMATH_INLINE@@만큼 떨어진 곳에서 생기는 전기장 @@NAMATH_INLINE@@ \mathbf{E}(\boldsymbol{r}) @@NAMATH_INLINE@@과 아주 유사한 형태임을 알 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{E(r)} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{3(\boldsymbol{p} \cdot \mathbf{\hat{r}})\mathbf{\hat{r}} - \boldsymbol{p}}{r^3} @@NAMATH_DISPLAY@@

질량 @@NAMATH_INLINE@@ m @@NAMATH_INLINE@@과 전하 @@NAMATH_INLINE@@ q @@NAMATH_INLINE@@를 갖는 입자가 반지름이 @@NAMATH_INLINE@@ r @@NAMATH_INLINE@@인 고리를 따라 속도 @@NAMATH_INLINE@@ v @@NAMATH_INLINE@@로 회전하면, 다음과 같은 각운동량(@@NAMATH_INLINE@@ L @@NAMATH_INLINE@@), 전류 (@@NAMATH_INLINE@@ I @@NAMATH_INLINE@@), 자기 모멘트(@@NAMATH_INLINE@@ \boldsymbol{\mu} @@NAMATH_INLINE@@)를 갖는다.@@NAMATH_DISPLAY@@L = mrv @@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@I = \dfrac{q}{\frac{2\pi r}{v}} = \frac{qv}{2\pi r} @@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@\mu = IA = \frac{qv}{2\pi r} \cdot \pi r^2 = \frac{qrv}{2} @@NAMATH_DISPLAY@@

오른손 법칙에 따라 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@ L @@NAMATH_INLINE@@과 자기 모멘트는 평행하며, 다음과 같은 관계를 갖는다. @@NAMATH_DISPLAY@@\mu = \frac{q}{2m} L @@NAMATH_DISPLAY@@

여기서 비례상수 @@NAMATH_INLINE@@ \frac{q}{2m} @@NAMATH_INLINE@@를 자기 회전 비율(magnetogyric ratio; gyromagnetic ratio)이라고 한다.

자연계를 구성하는 기본 입자들은 정수나 반정수(half-integer)의 스핀을 갖는다. 스핀의 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@ \mathbf{S} @@NAMATH_INLINE@@에 의해 자기 모멘트가 생기고,¹⁾ 자기 모멘트와 각운동량의 상관관계는 다음과 같이 자기회전 비율 @@NAMATH_INLINE@@ \gamma @@NAMATH_INLINE@@을 사용해서 나타낸다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\boldsymbol{\mu} = \gamma \mathbf{S} @@NAMATH_DISPLAY@@

전자의 스핀에 의한 각운동량과 자기 모멘트. 전자의 경우 자기 회전 비율이 음수이므로 각운동량과 자기 모멘트가 서로 반대 방향이다 (출처:대한화학회).

고전 전자기학의 자기 회전 비율과 @@NAMATH_INLINE@@ \gamma @@NAMATH_INLINE@@의 상관관계는 다음과 같이 g-상수(g-factor)를 사용해서 표현할 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\gamma = \frac{q}{2m} g @@NAMATH_DISPLAY@@

전자를 예로 들어 보면, @@NAMATH_INLINE@@ g_e \approx 2 @@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@ m = m_e @@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@ q = -e @@NAMATH_INLINE@@이므로, 다음의 식을 얻는다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\gamma = - \frac{e}{m_e} @@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@\boldsymbol{\mu_e} = - \frac{e}{m_e} \mathbf{S} @@NAMATH_DISPLAY@@

전자의 스핀 각운동량의 z-축 방향 성분의 크기 @@NAMATH_INLINE@@ \frac{1}{2}\hbar @@NAMATH_INLINE@@를 대입하면, 자기 모멘트의 기본 단위인 보어 마그네톤(Bohr magneton) @@NAMATH_INLINE@@ \mu_B @@NAMATH_INLINE@@를 얻는다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} @@NAMATH_DISPLAY@@

위의 식에 양성자의 질량 @@NAMATH_INLINE@@ m_p @@NAMATH_INLINE@@을 넣으면 다음과 같이 핵 마그네톤(nuclear magneton) @@NAMATH_INLINE@@ \mu_N @@NAMATH_INLINE@@이 된다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\mu_N = \frac{e\hbar}{2m_p} @@NAMATH_DISPLAY@@

이처럼 핵스핀이 0 이 아닌 원자핵 역시 전자와 유사하게 자기 모멘트를 갖고, 그 결과 외부 자기장이 주어지면 스핀 양자수에 따라 다른 에너지 상태를 갖게 된다. 전자기파를 이용해서, 이 서로 다른 에너지 상태들 사이의 전이를 유도하는 분광학적 방법으로 핵종의 자기적 환경을 구별하고, 이를 통해 물질의 화학구조를 분석할 수 있는데, 대표적인 사례가 핵자기 공명 분광법이다.

1. Holliday, David.; Resnick, Robert.; Walker, Jearl. Fundamentals of Physics, 9th ed.; John Wiley & Sons: Hoboken, NJ, 2011
2.
3. Griffiths, David J.; College, Reed. Introduction to Electrodynamics, 3rd ed. (International Edition); Pearson Education: San Fransisco, CA, 2008