복사에너지밀도

복사에너지밀도(radiation energy density)는 주어진 지점의 단위부피 속에 존재하는 광자들의 단위주파수당 복사 에너지이다. 이렇게 정의된 양은 주파수에 따라 달라지는 단색광 복사에너지밀도 @@NAMATH_INLINE@@\nu@@NAMATH_INLINE@@이다. 단색광 복사에너지밀도 @@NAMATH_INLINE@@u_\nu@@NAMATH_INLINE@@는 평균복사세기 @@NAMATH_INLINE@@J_\nu@@NAMATH_INLINE@@와 비례하는 물리량이며, 복사세기 @@NAMATH_INLINE@@I_\nu @@NAMATH_INLINE@@를 방향에 대해 적분하여 구할 수 있다. 통상 사용되는 복사에너지밀도는 유체의 에너지 방정식에 필요한 복사에너지밀도로서, 단색광 복사에너지밀도를 주파수에 대해 적분한 양인 총복사에너지밀도 @@NAMATH_INLINE@@u@@NAMATH_INLINE@@이다. 열역학적평형을 이루는 공간의 총복사에너지밀도 @@NAMATH_INLINE@@u@@NAMATH_INLINE@@는 온도의 4 제곱에 비례한다.

그림 1. 복사세기와 복사에너지밀도를 이해하기 위한 도해(출처: 채종철/한국천문학회). 빨간 반직선들은 각각 빛의 경로인 광선(light ray)이다.

목차

복사에너지밀도 @@NAMATH_INLINE@@u_\nu@@NAMATH_INLINE@@와 평균복사세기 @@NAMATH_INLINE@@J_\nu@@NAMATH_INLINE@@는 식

@@NAMATH_DISPLAY@@u_\nu = \frac{4 \pi}{c} J_\nu \qquad (1) @@NAMATH_DISPLAY@@

과 같이 연결되어 있어서, 서로 쉽게 변환해서 쓸 수 있는 물리량이다. 여기에서 @@NAMATH_INLINE@@c@@NAMATH_INLINE@@는 광속이다. 이 식은 그림 1을 참조하여 유도할 수 있다. 원점에서 @@NAMATH_INLINE@@t=0@@NAMATH_INLINE@@에 출발한 빛이 @@NAMATH_INLINE@@ d t @@NAMATH_INLINE@@ 후에 @@NAMATH_INLINE@@\hat s@@NAMATH_INLINE@@ 방향으로 @@NAMATH_INLINE@@s@@NAMATH_INLINE@@ 만큼 떨어진 두 번째 평면에 이르렀다고 하자. 그러면 두 평면 사이의 거리는 @@NAMATH_INLINE@@s= c d t @@NAMATH_INLINE@@로 쓸 수 있고, 두 번째 평면의 면적도 @@NAMATH_INLINE@@ d S= d A \cos \theta @@NAMATH_INLINE@@로 쓸 수 있다. 두 평면을 포함하는 원기둥의 부피는 @@NAMATH_INLINE@@d V= d A \cos \theta \, s@@NAMATH_INLINE@@이다. 원기둥안에 들어있는 단위 주파수당 복사에너지는 @@NAMATH_INLINE@@d E_\nu = I_\nu dt d A \cos \theta d \omega @@NAMATH_INLINE@@ 이다. 따라서 @@NAMATH_INLINE@@\hat s@@NAMATH_INLINE@@ 방향으로 향하는 복사의 단위주파수당 밀도는

@@NAMATH_DISPLAY@@ d u_\nu \equiv \ d E_\nu / d V = \frac{1}{c} I_\nu d \omega @@NAMATH_DISPLAY@@

가 되고 이를 모든 방향에 대해 적분하면

@@NAMATH_DISPLAY@@ u_\nu = \frac{1}{c} \oint I_\nu d \omega @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같다. 오른편 항을 평균복사세기로 표현하면 식(1)을 얻는다.

열역학적평형 상태의 복사를 흑체복사라고 한다. 흑체복사의 가장 큰 특징은 복사세기가 등방이고, 플랑크함수로 기술된다는 점이다. 흑체복사의 복사에너지밀도는

@@NAMATH_DISPLAY@@ u_\nu = \frac{4 \pi}{c} B_\nu(T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{ \exp(h \nu /k_b T)-1} @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같이 주어진다. 여기에서 @@NAMATH_INLINE@@h@@NAMATH_INLINE@@는 플랑크상수, @@NAMATH_INLINE@@k_b@@NAMATH_INLINE@@는 볼츠만상수이다. 이를 주파수에 대해 적분하면 총복사에너지밀도

@@NAMATH_DISPLAY@@ u \equiv \int u_\nu d \nu = a T^4 @@NAMATH_DISPLAY@@

가 된다. 여기에서

@@NAMATH_DISPLAY@@a=4 \sigma/c = 7.564 \times 10^{-15} {\rm \ erg \ cm^{-3} \ K^{-4} } @@NAMATH_DISPLAY@@

이다.