가변축전기

가변축전기는 전기용량을 변화시킬 수 있는 축전기이다. 이와 대비해서 전기용량이 일정한 일반적인 축전지는 고정축전기(fixed capacitor)라고 부른다.

축전기는 전하 혹은 전기에너지를 저장하는 장치이고, 전기용량은 축전기의 성능을 나타내는 양이다. 축전기의 두 판에 각각 @@NAMATH_INLINE@@+q@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@-q@@NAMATH_INLINE@@의 전하가 있을 때 두 판 사이의 전위차가 @@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@라면, 이 축전기의 전기용량 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_DISPLAY@@C = \frac{q}{V} \qquad (1)@@NAMATH_DISPLAY@@로 정의된다. 가장 간단한 형태의 축전기인 평행판축전기에서 금속판의 넓이가 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@, 두 판 사이의 거리가 @@NAMATH_INLINE@@d@@NAMATH_INLINE@@, 두 판 사이에 있는 물질의 비유전율이 @@NAMATH_INLINE@@\kappa@@NAMATH_INLINE@@라면, 평행판축전기의 전기용량은 @@NAMATH_DISPLAY@@C = \frac{\kappa \epsilon_0 A}{d} \qquad (2)@@NAMATH_DISPLAY@@로 주어진다. 여기서 @@NAMATH_INLINE@@\epsilon_0@@NAMATH_INLINE@@는 진공의 유전율이다.

보통의 축전기는 전기용량이 일정한 고정축전기이다. 그렇지만 전기용량을 바꿀 수 있도록 만들어진 축전기들이 있는데, 이를 가변축전기라고 한다. 그림 1은 고정축전기와 가변축전기의 회로 기호를 보여주고 있다.

그림 1. (a) 고정축전기와 (b) 가변축전기의 회로 기호 (출처:한국물리학회)

가장 간단한 가변축전기는 평행판축전기의 두 판이 상대적으로 움직일 수 있게 하여 만들 수 있다. 그림 2의 평행판축전기에서는 양전하로 대전된 빨간 판이 음전하로 대전된 파란 판에 대해 회전할 수 있다. 파란 금속판에 있는 음전하, 즉 전자는 자유롭게 움직일 수 있으므로 양전하가 있는 빨간 판 근처에 모이게 된다. 마찬가지로 빨간 판의 양전하도 파란 판 근처에 모이게 된다. 따라서 식 (2)의 평행판축전기의 전기용량에 나오는 판의 면적 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@는 두 판이 겹치는 부분, 즉 그림 2에서 짙은 색 부분의 면적이다. 한 판을 다른 판에 대해 돌리면, 겹치는 부분의 면적이 변하므로 가변축전기의 전기용량을 바꿀 수 있다.

그림 2. 가변 평행판축전기를 도식적으로 그린 그림 (출처:한국물리학회)

그림 3은 실제의 가변축전기의 사진이다. 이 사진에서는 여러 평행판축전기가 중첩되어 있는데, 고정자(stator) 부분에 대해 회전자(rotor) 부분이 회전함으로써 고정자와 회전자가 겹치는 면적이 변하고, 그에 따라 전기용량도 변한다.

그림 3. 가변축전기의 사진()

가변축전기는 TV나 라디오와 같은 전파 수신기의 동조기(tuner)에 중요하게 쓰인다. 동조기의 작동 원리는 그림 4의 RLC 직렬 공진회로를 통해 알 수 있다. 공진회로에 진동수 @@NAMATH_INLINE@@f@@NAMATH_INLINE@@인 교류전원 @@NAMATH_DISPLAY@@\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_0 \sin( 2 \pi f t) = \mathcal{E}_0 \rm{Im}(\exp(j \omega t)) @@NAMATH_DISPLAY@@ 이 연결되면 이 회로의 총 임피던스는 @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{Z} = R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C} = R + j (\omega L - \frac{1}{\omega C}) @@NAMATH_DISPLAY@@ 가 된다, 여기서 @@NAMATH_INLINE@@\rm{Im}@@NAMATH_INLINE@@은 복소수의 허수부를 나타내며, @@NAMATH_INLINE@@\omega = 2 \pi f@@NAMATH_INLINE@@이고, @@NAMATH_INLINE@@j = \sqrt{-1}@@NAMATH_INLINE@@인데 교류 회로 분석에서는 @@NAMATH_INLINE@@\sqrt{-1}@@NAMATH_INLINE@@을 전류의 기호 @@NAMATH_INLINE@@i@@NAMATH_INLINE@@와 혼동되지 않도록 @@NAMATH_INLINE@@j@@NAMATH_INLINE@@로 쓴다. 이 공진회로의 복소수 전류 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{i}@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{i} = \frac{\mathcal{E}_0 \exp(j \omega t)}{\mathbf{Z}} = \frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{ R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}} \exp(j \omega t - \phi) @@NAMATH_DISPLAY@@가 되는데, 여기서 @@NAMATH_INLINE@@\phi = \arctan(\frac{R}{\omega L - \frac{1}{\omega C}})@@NAMATH_INLINE@@이다. 전류의 진폭 @@NAMATH_INLINE@@I_0@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_DISPLAY@@I_0 = \frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{ R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}} @@NAMATH_DISPLAY@@인데, 이를 그래프로 그리면 그림 5와 같은 공진 곡선을 얻는다. @@NAMATH_INLINE@@I_0@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@\omega_0 L - \frac{1}{\omega_0 C} = 0@@NAMATH_INLINE@@일 때, 즉 공명진동수 @@NAMATH_DISPLAY@@f_0 = \frac{\omega_0}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} @@NAMATH_DISPLAY@@일 때 최댓값 @@NAMATH_INLINE@@\frac{\mathcal{E}_0}{R}@@NAMATH_INLINE@@을 갖는다.

그림 4. RLC 직렬 공진회로 (출처:한국물리학회)

그림 5. RLC 직렬 공진회로에서의 진동수에 따른 전류 진폭의 변화 (출처:한국물리학회)

이제 그림 6에서처럼 주파수 @@NAMATH_INLINE@@f_1@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@f_2@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@f_3@@NAMATH_INLINE@@인 방송국 1, 방송국 2, 방송국 3의 전파가 수신기에 들어오면, 이 전파는 그림 4의 교류 전원의 역할을 한다. 수신기 안의 동조기의 공명진동수가 @@NAMATH_INLINE@@f_n@@NAMATH_INLINE@@이면, 방송국 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@의 전파에 대응하는 전류가 수신기 회로에 흐르고 나머지 방송국의 전파에 대응하는 전류는 거의 흐르지 않는다. 동조기의 공명진동수를 @@NAMATH_INLINE@@f_n@@NAMATH_INLINE@@로 선택하려면, @@NAMATH_INLINE@@f_n = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}@@NAMATH_INLINE@@가 되도록 @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@이나 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@를 조절해야 하는데, 일반적으로 @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@보다는 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@를 바꾸기가 훨씬 쉽다. 결국 가변축전기를 사용하여 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@ 값이 @@NAMATH_INLINE@@f_n = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC_n}}@@NAMATH_INLINE@@을 만족하는 @@NAMATH_INLINE@@C_n@@NAMATH_INLINE@@이 되도록 조절하여 방송국 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@의 방송을 듣거나 보게 된다.

그림 6. 가변축전기를 사용하여 공진회로의 공명진동수를 바꾸어 원하는 방송의 주파수와 일치시키면 그 방송국의 방송을 듣거나 볼 수 있다. (출처:한국물리학회)