직류회로
[ Direct current circuit ]
직류란 방향이 일정한 전기의 흐름을 말한다. 그림 1의 위 그림이 직류를 나타내고 있다. 그림에서처럼 직류는 그 크기가 일정할 수도 있고, 시간에 따라 변할 수도 있다. 직류회로의 간단한 예를 그림 1의 아래 그림에 나타내었는데, 건전지와 저항으로 이루어진 매우 간단한 회로이다. 건전지는 내부의 전해질 안에서 수명 전까지 일정한 반응량과 방향성을 가지고 일어나는 화학 반응을 이용하여 기전력을 일으키는 장치이며, 저항은 전류의 흐름을 방해하는 회로요소이다. 건전지의 기전력 크기와 회로의 저항 크기의 비가 바로 직류 전류의 값이 된다. 직류가 흐르려면 반드시 직류전압의 전원이 필요하다.
그림 1. (위) 직류, (아래) 저항이 연결된 직류회로 (출처:한국물리학회)
직류와 상반되는 개념으로서, 시간에 따라 전류 방향이 바뀌는 교류가 있다. 직류는 직류발전기나 건전지 등 직류전원에서 얻을 수 있고, 교류로부터 정류기를 통해 변환하여 얻을 수도 있다. 실제로 수많은 전자 제품이 교류를 받아 어댑터를 통해 낮은 전압의 직류로 변환하여 제품 내부의 직류회로에 이용하고 있다.
전기회로의 회로요소로는 저항이 가장 대표적이며, 그 밖에 도선, 축전기, 코일, 스위치 등이 있다. 직류회로에서 의미 있는 회로요소는 저항과 스위치 정도이다. 일정한 전위차가 저항에 인가되면 직류의 전류가 계속 흐른다. 저항값이 0인 도선에 건전지를 연결한다면 옴의 법칙에 의해 무한대의 전류가 흐를 것으로 생각할 수 있지만, 실제로는 0이 아닌 전위차를 저항값 0인 저항에 인가하는 것은 불가능하다. 축전기의 경우, 직류에게는 단지 서로 떨어져 있는 두 도체판에 불과하므로 끊어진 두 도선과 같다. 따라서 축전기에 전압이 인가된 순간으로부터 축전기에 전하가 축적되는 짧은 시간 동안을 제외하면, 전류는 흐르지 않는다. 코일의 경우, 직류에게는 단지 꼬여있는 형태로 인해 자기장의 효과에 민감한 도선에 불과하다. 패러데이 전자기유도 법칙에 의하면 유도기전력이 전류 자체가 아닌 전류의 변화에 의해서만 나타나므로, 코일에 전압이 인가된 순간으로부터 전륫값이 증가하는 짧은 시간 동안을 제외하면, 저항이 0인 도선과 아무런 차이가 없다.
직류전원과 회로요소 한 개로 이루어지는 가장 간단한 직류회로들을 좀 더 알아보자. 그림 1의 아래 그림처럼 전원에 저항만 연결되어 있는 경우, 회로에는 일정한 크기의 전류가 흐른다. 전원의 기전력을 @@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@, 저항의 저항값을 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@이라 할 때, 전륫값을 @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@라고 하면 @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@I = \frac{V}{R} @@NAMATH_INLINE@@로 주어진다.
그림 2처럼 전원에 축전기만 연결되어 있는 경우, 앞에서 설명한 것과 같이 연결하는 순간 전하가 축전기에 축적되는 짧은 시간 동안만 전류가 흐르는데, 전원의 기전력을 @@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@, 축전기의 전기용량을 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@, 축적된 전하량을 @@NAMATH_INLINE@@Q@@NAMATH_INLINE@@라고 하면 @@NAMATH_INLINE@@Q = CV @@NAMATH_INLINE@@로 주어진다.
그림 2. 축전기가 연결된 직류회로 ()
실제 도선에는 작지만 유한한 값의 저항이 있으므로, 그림 2보다 좀 더 실제 상황에 가까운 직렬회로를 생각해 보자. 이 때 도선의 실제 저항값을 한 개의 저항으로 표현하면, 나머지 도선은 저항이 0이라고 볼 수 있다. 이렇게 실제 회로로부터 모델 회로를 구성할 수 있으면, 실제 회로를 분석할 수 있게 된다. 그림 3은 방금 이야기한 모델 회로를 보여 준다. 직류전원, 저항 한 개, 축전기 한 개로 이루어진 직렬회로이다. 이 모델 회로를 이용해서 앞서 이야기한 축전기에 짧은 시간 동안 전하가 축적되는 현상을 수학적으로 풀어보자.
그림 3. 축전기와 저항으로 이루어진 직류회로 ()
전원의 기전력을 @@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@, 저항에서의 전압강하를 @@NAMATH_INLINE@@V_{R}@@NAMATH_INLINE@@ , 축전기에서의 전압강하를 @@NAMATH_INLINE@@V_{C}@@NAMATH_INLINE@@라고 하고 이 회로에 키르히호프의 법칙을 적용하면, @@NAMATH_DISPLAY@@V=V_{R}+V_{C}@@NAMATH_DISPLAY@@이 된다. 이 때, 그림 1과 그림 2 회로의 관계식을 이용하면, 이 식은 @@NAMATH_DISPLAY@@V=IR+{\frac{Q}{C}}@@NAMATH_DISPLAY@@과 같이 풀어 쓸 수 있게 된다. 이 때, @@NAMATH_INLINE@@I={\frac{dQ}{dt}}@@NAMATH_INLINE@@임을 이용하면 이 식은 아래와 같은 미분방정식이 된다. @@NAMATH_DISPLAY@@V=R{\frac{dQ}{dt}}+{\frac{Q}{C}} .@@NAMATH_DISPLAY@@
이 미분방정식의 해를 구하면 @@NAMATH_DISPLAY@@Q=CV(1-e^{-{\frac{1}{RC}}(t-t_{i})})+Q_{i}e^{-{\frac{1}{RC}}(t-t_{i})}@@NAMATH_DISPLAY@@이 된다. 즉, 축전기에 축적되는 전하량을 시간의 함수으로 표현할 수 있게 된다. 이 때, @@NAMATH_INLINE@@ t_{i}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@ Q_{i}@@NAMATH_INLINE@@는 각각 회로를 연결한 순간의 시각과 그 시각에 축전기에 축적되어 있던 전하량이다. 연결한 순간의 시각을 @@NAMATH_INLINE@@t_{i} = 0@@NAMATH_INLINE@@, 축전기에 축적되어 있던 전하량을 @@NAMATH_INLINE@@ Q_{i}@@NAMATH_INLINE@@, 축전기가 완전히 충전되었을 때 축적된 전하량을 @@NAMATH_INLINE@@Q_{0}@@NAMATH_INLINE@@라 하면, @@NAMATH_INLINE@@Q_{0} = CV@@NAMATH_INLINE@@이고, 위 식은 다음과 표현할 수 있다. @@NAMATH_DISPLAY@@Q=Q_{0}(1-e^{-{\frac{1}{RC}}t})+Q_{i}e^{-{\frac{1}{RC}}t} .@@NAMATH_DISPLAY@@
이 전하량을 시간에 대해 미분하면 전륫값이 나오므로 시간에 따른 전류의 흐름도 아래와 같이 구할 수 있다. @@NAMATH_DISPLAY@@I={\frac{dQ}{dt}}={\frac{Q_{0}-Q_{i}}{RC}}e^{-{\frac{1}{RC}}t}=({\frac{V}{R}}-{\frac{Q_{i}}{RC}})e^{-{\frac{1}{RC}}t} .@@NAMATH_DISPLAY@@이제 시간의 함수로 표현된 전하량과 전류를 각각 @@NAMATH_INLINE@@V_{C}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@V_{R}@@NAMATH_INLINE@@에 대입하면, @@NAMATH_DISPLAY@@V_{R}=(V-{\frac{Q_{i}}{C}})e^{-{\frac{1}{RC}}t} ,@@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@V_{C}=V-(V-{\frac{Q_{i}}{C}})e^{-{\frac{1}{RC}}t}@@NAMATH_DISPLAY@@로 표현된다. 축전기에 전하가 축적되는 짧은 시간을 지나서 @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@ 값이 아주 커지게 되면 앞에 그림 2를 설명할 때 간략히 설명한 상태가 되는 것을 알 수 있다. 즉, @@NAMATH_INLINE@@V_{R}@@NAMATH_INLINE@@은 0, @@NAMATH_INLINE@@V_{C}@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@는 0, @@NAMATH_INLINE@@Q=Q_{0}@@NAMATH_INLINE@@이다. 이 상태에서는 전류는 더 이상 흐르지 않고, 전압은 축전기에만 걸려 있으며, 축전기에 축적된 전하량은 @@NAMATH_INLINE@@Q_{0}@@NAMATH_INLINE@@인 것이다.