보존법칙

물리학에서 보존법칙은 어떤 계(system)가 시간에 따라 변화해 갈 때, 고립계의 경우 어떤 특정한 측정 가능한 변수가 변하지 아니하고 상수(constant)로 유지된다는 법칙이다.

고립계는 외부와 열, 일, 물질 모두를 주고받지 않는 계를 뜻한다. 보존법칙은 정확한 보존법칙(exact conservation law)와 근사 보존법칙(approximate conservation law)로 구별된다. 대부분의 보존법칙은 모든 가능한 경우에 성립된다는 점에서 정확한 보존법칙이지만, 일부 보존법칙은 일부 경우에만 성립한다는 점에서 근사 보존법칙으로 분류된다. 정확한 보존법칙에는 에너지보존법칙(conservation of energy), 선운동량 보존법칙(conservation of linear momentum), 각운동량 보존법칙(conservation of angular momentum), 전하보존법칙(conservation of electric charge) 등이 있으며, 근사 보존법칙에는 질량(mass), 홀짝성(반전성, parity), 렙톤수(lepton number), 바리온수(baryon number), 기묘도(strangeness), 초전하(hypercharge) 등 여러 물리량들에 대한 보존법칙들이 있다.

뇌터 정리(Noether's theorem)에 따르면 보존법칙은 그 법칙과 관련된 물리 현상의 대칭성(symmetry) 또는 불변성(invariance)과 밀접한 관계를 가진다. 예를 들어서 에너지보존법칙은 물리계의 시간 무관성(time-invariance)에 기인한 법칙이고, 각운동량 보존법칙은 공간의 방향 대칭성에 기인한 법칙이다. 보존법칙은 자연계에서 어떤 과정이 일어날 수 있고 일어날 수 없는지에 대한 이해를 제공하기 때문에 우리가 물리적 세계를 이해하는데 있어서 중요한 개념 중 하나이다. 예를 들어서 에너지보존법칙에서 우리는 고립계의 에너지는 비록 그 형태가 변할 수는 있지만 그 총량은 시간에 따라 변하지 않는다는 사실을 알 수 있다.

유체 등 연속체에 대해서 수학적으로 보존법칙은 연속방정식(continuity equation)으로 표현된다. 연속방정식은 편미분방정식(partial differential equation)의 형태로 표현되며, 이 방정식은 어떤 물리량과 그 물리량이 전달되는 양 사이의 관계를 기술한다. 방정식이 물리적으로 뜻하는 내용은 어떤 공간 내에서 보존되는 물리량은 그 공간으로 들어오거나 나가는 그 물리량에 의해서만 변할 수 있다는 것이다. 보존법칙의 수학적 형태에 대한 예를 들자면, 연속체 역학(continuum mechanics)의 전하보존법칙은 아래와 같이 주어진다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \nabla \cdot \mathbf{j} .@@NAMATH_DISPLAY@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@\nabla \cdot@@NAMATH_INLINE@@는 발산연산자(divergence operator), @@NAMATH_INLINE@@\rho@@NAMATH_INLINE@@는 전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@의 밀도, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{j}@@NAMATH_INLINE@@는 전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@의 흐름 정도, @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@는 시간이다. 전하의 움직임 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{u}@@NAMATH_INLINE@@가 위치와 시간에 대해 연속적이라면 @@NAMATH_INLINE@@ \mathbf{j} = \rho \mathbf{u} @@NAMATH_INLINE@@이고, 이 관계식을 이용하면 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}).@@NAMATH_DISPLAY@@

계산의 편의상 일차원인 계를 고려할 때, 위 식은 다음과 같은 형태를 띈다.

@@NAMATH_DISPLAY@@y_t + a(y) y_x = 0 .@@NAMATH_DISPLAY@@

여기서 함수 @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@y(x,t)@@NAMATH_INLINE@@로 주어지며, @@NAMATH_INLINE@@y_t@@NAMATH_INLINE@@는 함수 @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@를 시간으로 미분한다는 뜻이고, @@NAMATH_INLINE@@y_x@@NAMATH_INLINE@@는 함수 @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@를 공간 변수 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@로 미분한다는 뜻이다. @@NAMATH_INLINE@@y(x,t)@@NAMATH_INLINE@@는 보존되는 물리량의 밀도이고, @@NAMATH_INLINE@@a(y)@@NAMATH_INLINE@@는 이 보존되는 양의 흐름에 대한 계수(current coefficient)이다.