각운동량

각운동량 @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@은 회전하고 있는 물체의 운동을 정량적으로 기술하기 위한 양으로, 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@, 회전 반지름 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@과 선속도 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@의 곱으로 표시한다.

@@NAMATH_DISPLAY@@L=m r v=mr^2\omega.@@NAMATH_DISPLAY@@

위 식의 두번째 등호에서는 선속도가 @@NAMATH_INLINE@@v = r \omega@@NAMATH_INLINE@@, 즉 회전 반지름 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@과 각속도 @@NAMATH_INLINE@@\omega@@NAMATH_INLINE@@의 곱으로 표시됨을 이용하였다. 각운동량을 벡터로 표시하면 크기는 위와 같으며 방향은 회전하고 있는 평면에 수직인 방향으로 정한다.

한편 병진운동에서 운동량은 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@과 속도 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v}@@NAMATH_INLINE@@의 곱으로써 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{p}=m\mathbf{v}@@NAMATH_INLINE@@로 표시된다. 이때 운동량 벡터의 방향은 속도와 같은 방향이고 크기는 @@NAMATH_INLINE@@{p}=m{v}@@NAMATH_INLINE@@이다. 각운동량 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{L}@@NAMATH_INLINE@@는 거리 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{r}@@NAMATH_INLINE@@과 운동량 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{p}@@NAMATH_INLINE@@의 벡터적(vector product)을 사용하여 표현할 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}=m\mathbf{r}\times\mathbf{v}.@@NAMATH_DISPLAY@@

벡터적의 정의에 따라 각운동량 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{L}@@NAMATH_INLINE@@의 방향은 거리 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{r}@@NAMATH_INLINE@@과 운동량 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{p}@@NAMATH_INLINE@@ 모두에 수직인 방향 즉 회전 평면에 수직인 방향 중, 오른손 네 손가락으로 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{r}@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{p}@@NAMATH_INLINE@@를 순서대로 감아쥐었을 때 엄지손가락의 방향이다. 각운동량 벡터의 크기는 @@NAMATH_INLINE@@L = mvr \sin \theta@@NAMATH_INLINE@@가 되는데, 여기서 @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{r}@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{p}@@NAMATH_INLINE@@의 사잇각이다.

각운동량은 강체의 경우에도 유용하게 적용할 수 있다. 강체가 한 축을 중심으로 회전하고 있을 때, 이 강체를 상대적인 위치가 변하지 않는 많은 작은 조각들의 모임으로 볼 수 있다. @@NAMATH_INLINE@@N@@NAMATH_INLINE@@개의 작은 조각으로 나누고 결국은 @@NAMATH_INLINE@@N\to\infty@@NAMATH_INLINE@@의 극한을 택하여 강체의 성질을 정한다. @@NAMATH_INLINE@@i@@NAMATH_INLINE@@번째 조각의 각운동량은 위의 식에 따라 @@NAMATH_INLINE@@L_i=\Delta m_i r_i^2\omega@@NAMATH_INLINE@@로 표시된다. 여기서 @@NAMATH_INLINE@@\Delta m@@NAMATH_INLINE@@은 질량의 크기가 작음을 표시하고, @@NAMATH_INLINE@@r_i@@NAMATH_INLINE@@는 회전축으로부터 @@NAMATH_INLINE@@i@@NAMATH_INLINE@@번째 조각까지의 거리를 표시한다. 각속도는 모든 조각이 동일한데, 동일하지 않으면 강체가 유지되지 않는다.

전체 각운동량은 @@NAMATH_INLINE@@L_i@@NAMATH_INLINE@@를 모두 합하고, @@NAMATH_INLINE@@N\to\infty@@NAMATH_INLINE@@의 극한을 취하여 얻어진다. @@NAMATH_DISPLAY@@L=(\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^N \Delta m_i r_i^2)\omega= I\omega.@@NAMATH_DISPLAY@@ 자연스럽게 도입한 @@NAMATH_INLINE@@I=\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^N (\Delta m_i r_i^2)@@NAMATH_INLINE@@는 관성모멘트(moment of inertia)라고 부른다. 각운동량의 표현 @@NAMATH_INLINE@@L= I\omega@@NAMATH_INLINE@@이 운동량 @@NAMATH_INLINE@@{p}=m{v}@@NAMATH_INLINE@@의 표현과 유사함을 유의하라. 만약 각속도 @@NAMATH_INLINE@@\omega@@NAMATH_INLINE@@를 선속도 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@에 견준다면 관성모멘트 @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@는 관성질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@에 해당한다.

각운동량의 시간에 대한 변화는 @@NAMATH_INLINE@@\frac{d L}{dt}=I\frac{d\omega}{dt}=I\alpha@@NAMATH_INLINE@@로 쓸 수 있는데, 여기서 @@NAMATH_INLINE@@\alpha@@NAMATH_INLINE@@는 각가속도이다. 한편 각가속도 @@NAMATH_INLINE@@\alpha@@NAMATH_INLINE@@는 강체의 회전운동방정식 @@NAMATH_INLINE@@\tau=I\alpha@@NAMATH_INLINE@@에 나타나는데, 뉴턴의 운동방정식 @@NAMATH_INLINE@@F=ma@@NAMATH_INLINE@@과 유사함을 볼 수 있다. 여기서 @@NAMATH_INLINE@@\tau@@NAMATH_INLINE@@는 돌림힘을 표시하고, 벡터로 표기하는 경우에는 @@NAMATH_INLINE@@\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}@@NAMATH_INLINE@@와 같이 위치 벡터와 힘의 벡터적으로 주어진다. 만약 돌림힘이 없다면, 즉 @@NAMATH_INLINE@@\tau=0@@NAMATH_INLINE@@인 경우에는, 각운동량은 시간이 지나도 변하지 않고 보존된다. 이것을 각운동량 보존법칙이라고 한다.

각운동량 보존법칙은 강체 하나에 적용됐을 때도 유용하지만, 두 개 이상의 물체에 적용되었을 때 더욱 유용하다. 두 개의 물체가 서로 힘을 주고 받는 경우 각 물체는 위의 회전운동방정식에 따라 운동한다

@@NAMATH_DISPLAY@@\frac{d L_1}{dt}=I_1\alpha_1=\tau_1,@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@\frac{d L_2}{dt}=I_2\alpha_2=\tau_2.@@NAMATH_DISPLAY@@

이 두 식을 합하면

@@NAMATH_DISPLAY@@\frac{d}{dt}(L_1+L_2)=\tau_1+\tau_2@@NAMATH_DISPLAY@@

이 된다. 여기서 특별히 @@NAMATH_INLINE@@\tau_1+\tau_2=0@@NAMATH_INLINE@@인 경우 각운동량의 합 @@NAMATH_INLINE@@L_1+L_2@@NAMATH_INLINE@@는 보존된다.