위상기하학

요약 공간의 일 대 일, 연속 그리고 그 역도 연속인 사상(寫像)에 대하여도 불변인 성질, 즉 위상적 성질을 연구하는 기하학으로 20세기 수학의 특징인 대역적(大域的)인 성격을 단적으로 나타내고 있다는 의미에서 현대수학을 대표하는 것으로서 다른 여러 분야에도 큰 영향을 미치면서 더욱 다채로운 차원(次元)으로 발전하고 있다.

공간의 일 대 일, 연속 그리고 그 역도 연속인 사상(寫像)에 대하여도 불변인 성질, 즉 위상적 성질을 연구하는 기하학이다. 이를테면 구면(球面)과 위상동형인 2차원 폐다면체(閉多面體)의 꼭짓점의 수 V, 변의 수 E, 면의 수 F 사이에는 V－E＋F＝2라는 관계가 성립한다는 오일러의 정리는 전형적인 문제인데, 이는 위상기하학의 출발점이 되었다.

이 밖에 이른바 한붓그리기의 문제를 포함하는 이론을 비롯하여 여러 이론이 알려져 있다. 그러나 수학의 추상화에 따라서 그 대상도 구체적인 공간에서 추상적인 공간에까지 확장되었다. 이와 같이 추상공간(抽象空間)을 위상공간이라고 하며, 위상적 방법과 대수적 방법을 병용함으로써 수학해석처리를 하는 부분이 탄생하게 되었다.

이러한 방법에 의한 수학, 즉 위상기하학을 비롯하여 위상공간론·위상해석학 등이 위상수학의 대종을 이루고 있다. 이상과 같이 위상기하학은 20세기 수학의 특징인 대역적(大域的)인 성격을 단적으로 나타내고 있다는 의미에서 현대수학을 대표하는 것으로서 다른 여러 분야에도 큰 영향을 미치면서 더욱 다채로운 차원(次元)으로 발전하고 있다.