뫼비우스의 띠

요약 좁고 긴 직사각형 종이를 180°(한 번) 꼬아서 끝을 붙인 면과 동일한 위상기하학적 성질을 가지는 곡면.

독일의 수학자 A.F.뫼비우스가 처음으로 제시하였기 때문에 뫼비우스의 띠라고 한다.

그림과 같은 직사각형 띠를 꼬지 않고 점 A와 C, 점 B와 D가 만나도록 변 AB와 CD를 붙여 고리를 만들면 (1)과 같이 된다. 또, 같은 띠를 180° 꼬아서 점 A와 D, 점 B와 C가 만나도록 변 AB와 변 DC를 붙이면 (2)와 같이 되고, 이와같은 곡면을 가지는 띠를 뫼비우스의 띠라 한다.



이 띠에는 여러 가지 성질이 있다. 이를테면, (1)의 띠 바깥쪽에 칠을 하면, 바깥쪽은 전부 칠해지나 안쪽은 칠해지지 않는다(兩側曲面). 그러나 뫼비우스의 띠의 바깥쪽에서 칠을 해가면 안쪽도 모두 칠해지며(單側曲面), 안쪽과 바깥쪽의 구별이 없다. 따라서, (1)과 (2)는 동상(同相:위상적으로 동형)이 아니다.

위상기하학에서는 어떤 도형이 튼튼하고 탄력성이 있는 재료로 되어 있다 가정하고, 이 재료를 자르거나 접거나 잇지 않고 임의로 늘이거나 줄일 수 있는 것으로 생각한다. 그러면, 원 ·삼각형 ·다각형 등은 동상이고, 또 구(球) ·각기둥 ·각뿔 ·정다면체 등도 동상이다.

다음과 같이 180°×n(n번)만큼 꼬아서 만든 띠를 B_n이라 하면, n이 짝수일 때 B_n은 B_o와 동상이 되고, n이 홀수일 때 B_n은 B₁과 동상이다.



B_o와 같은 띠를 그 중심선을 따라 자르면 2개의 독립된 띠가 되지만, B₁과 같이 한 번 꼬아 만든 뫼비우스의 띠를 그 중심선을 따라 자르면 네 번 꼬인 하나의 띠 B₄가 된다.



또, 뫼비우스의 띠 B₁을 그 삼등분선을따라 자르면, 1개의 뫼비우스의 띠 B₁과 네 번 꼬인 띠 B₄가 얽혀 있는 상태가 된다.