순서

요약 추상적인 집합 M의 임의의 원소 x, y에 대하여 특정관계(≤ 또는 ⊂)를 나타내는 것이다. 동일집합에서 다양한 순서를 생각할 수 있다.

수의 대소 관계 ≤ 또는 집합의 포함관계 ⊂로부터 추상(抽象)된 개념으로, 하나의 2항관계 ≤가 주어진 추상적인 집합 M의 임의의 원소 x, y에 대하여

① x≤x(대칭률)
② x≤y이고 y≤z이면 x≤z(추이율)
③ x≤y이고 y≤x이면 x＝y(반대칭률)

이 성립할 때, 실수의 집합에서 각 실수 사이의 대소관계 ≤는 순서이며, 집합족(집합의 집합)의 원소(집합) 사이의 포함관계 ⊂도 순서이다. 또 자연수 a가 자연수 b의 약수인 것을 ab로 나타내면 약수, 배수의 관계를 나타내는 도 순서이다. 따라서 자연수의 집합을 대소관계 ≤를 순서로 하는 순서집합으로도, 관계 를 순서로 하는 순서집합으로도 생각할 수 있으므로 동일한 집합이라도 여러 순서를 생각할 수 있다.

반대칭을 가지지 않는 관계를 특히 의순서(擬順序)라고 한다. 또, 순서집합 E의 임의의 원소 a, b에 대하여 반드시 a≤b 또 b≤a의 어느 것이 성립할 때 순서 ≤를 전순서(全順序)또는 선형순서라고 한다. 또, 집합 M의 부분집합 전체로 이루어진 집합 G(M)= {XX⊂M} 집합의 포함관계 ⊂를 순서로 하는 순서집합이나 M이 2개 이상의 원소를 가지는 경우에는 G(M)은 전순서집합이 아니다. 반드시 전순서라고는 할 수 없는 순서를 반순서(半順序)라 하고, 반순서를 순서로 하는 집합을 반순서집합이라고 한다.