멱급수

요약 수학용어.

일반적으로 ∑a_ń(x－a)^ń인 꼴로 나타낼 수 있는 급수를 말한다. 정급수(整級數)라고도 한다. a₀, a₁, …, a_ń이 상수, x가 변수인 다항식 a₀+a₁x+a₂x²+…+ a_ńx^ń을 무한히 연장한 식

      a₀+a₁x+a₂x²+…+a_ńx^ń+…

을 말한다. 이 급수는 x의 값에 따라 어떤 범위 내에서 수렴한다. 즉, 등비급수

      1+x+x²+…+x^ń+…

에 있어서 x＜1일 때에는 수렴, x≥1일 때에는 발산한다. 이에 대하여




은 x의 모든 값에 대하여 수렴한다. 또 x=0일 때만 수렴하는 것으로서

       1+1！x+2！x²+…+n！x^ń+…

과 같은 것이 있다. 일반적으로 멱급수에는 x＜r에 대해서는 절대 수렴하고, x＞r에 대해서는 발산하는 반지름 r인 수렴원이 존재한다. 멱급수로 나타낸 함수를 미분 또는 적분할 때는 수렴원의 내부에서는 각 항을 항목별로 미분 또는 적분한다.