다면체

요약 평면다각형의 면으로 둘러싸인 입체도형(立體圖形)이다. 다면체의 꼭짓점, 모서리, 면의 수를 이용한 오일러의 정리가 있다.

이때 각각의 다각형을 다면체의 면, 2개의 면에 공통인 다각형의 변을 다면체의 모서리, 다각형의 각각의 꼭짓점을 다면체의 꼭짓점, 같은 면에 포함되지 않은 2개의 꼭짓점을 잇는 선분을 다면체의 대각선이라 한다. 볼록다면체 중 면의 수가 n(n≥4)인 다면체를 n면체라 한다. 이때 다면체의 어느 면을 연장해도 그 평면이 다면체의 내부를 자르지 않는 다면체를 볼록다면체라고 한다.

다면체의 꼭짓점의 수를 v, 모서리의 수를 e, 면의 수를 f라 할 때, v－e+f=2가 된다. 이것을 ‘오일러의 정리’라고 한다. 4개의 삼각형을 면으로 가지는 사면체에서는 v=4, e=6, f=4이므로 위의 정리를 만족시킨다. 또 각 면이 합동인 정다각형 각 꼭짓점에 모인 면의수가 같은 볼록다면체를 정다면체라고 하는데, 정다면체에는 정사면체 ·정육면체·정팔면체·정십이면체·정이십면체의 5종류가 있다. 정다면체 중 정사면체 ·정육면체 ·정팔면체는 오래전부터 알려져 있었지만, 정십이면체·정이십면체는 피타고라스학파(學派)에 의해 발견되었다.