노모그램

요약 곡면으로 나타나는 세 개 이상의 변수 사이의 관계를 간단하고 능률적으로 사용하기 위해 평면 위에 나타내도록 고안한 것이다.

계산도표(計算圖表)라고도 한다. 두 변수 사이의 관계는 함수 y＝f (x)의 그래프로서 평면상에 나타낼 수 있으나, 세 변수사이의 관계는 두 변수의 함수 z＝f(x, y)의 그래프로서 공간 내의 곡면으로 나타내게 된다. 이것은 그리기가 어렵고, 이해하기도 어려우므로 이와 같은 3개 이상의 변수 사이의 관계를 평면 위에 나타낼 수 있도록 고안한 것이 노모그램이다.

1891년 프랑스의 M.도카뉴가 발표한 것으로, 어떤 주어진 방정식을 한 모양에 대해서 한 번만 그림으로 그려두면, 다음에는 자나 컴퍼스를 거기에 대기만 해도 해답을 구할 수 있도록 되어 있다. 제1차 및 제2차 세계대전을 계기로 세계 각국에 보급되어 실용화되었다.

노모그램에는 대응하는 변수의 값을 한 점에서 읽을 수 있는 것과, 한 직선에서 읽을 수 있는 것이 있다. 전자를 공점도표(共點圖表), 후자를 공선도표(共線同表)라 한다. 예를 들어, 극히 간단한 노모그램으로서 x＋y＝z를 생각하면, x＝c(일정)는 y축에 평행한 직선, y＝c(일정)는 x축에 평행한 직선, z=c(일정)는 기울기가 －1인 직선 x＋y＝c가 된다. 이들 직선군(直線群)을 그리면, 임의의 x,y에 대한 z의 값, 또는 x,z에 대한 y의 값을 곧 알 수 있다. 가령 x＝2, y＝4에서 z＝6을, 또 x＝3, z＝8에서 y＝5임을 알 수 있다. 전자는 덧셈, 후자는 뺄셈이며, 이와 같은 도표가 공점도표이다.

이에 대하여, 한 직선에 수직인 두 직선상에 보통의 눈금을 매기고, 두 직선의 중간을 지나는 평행선 위에 2분의 1로 축소한 눈금을 매긴다. 양쪽 눈금을 각각 x,y 중앙의 눈금을 z라 하면, 같은 직선상에 오는 눈금 사이에는 x＋y＝z의 관계가 있으며, 이것으로 덧셈 ·뺄셈을 할 수 있다. 이와 같은 도표가 공선도표이다.

이들 도표에서 보통의 눈금 대신 로그 눈금(끝점에서 log x되는 곳에 x를 매긴다. 계산자의 눈금과 같다)을 매기면, log x＋log y＝log z, 즉xy＝z가 되어, 곱셈 ·나눗셈의 공점도표 및 공선도표를 얻을 수 있다.

또한, 가로 ·세로의 양축에 로그 눈금을 매긴 모눈종이(전로그 모눈종이)를 사용하면 곱셈 ·나눗셈의 공점도표를 만들 수 있다.

노모그램은 여러 계산에 대해 만들 수 있다. 이를테면,

의 공선도표는 60 °씩 벌어진 3개의 직선상에 보통의 눈금을 매기면 된다. 이것은 삼각형의 넓이의 관계

즉, yz＋xz＝xy를 이용한 것이다. 이 식의 각 변을 xyz로 나누면

이를테면,

이 된다.

또, 2차방정식 x²＋px＋q＝0에서는 p,q를 주어 근 x의 공점도표를 간단히 만들 수가 있다.

예를 들면, x＝1, 2, －1, －2라 하면, 1＋p＋q＝0, 4＋2p＋q＝0, 1－p＋q＝0, 4－2p＋q＝0 이 되며, 이들은 p,q를 축으로 하는 평면에서 각각 직선을 나타낸다. 이들 직선을 상당수 그리고, 거기에 x의 값을 매겨두면, p,q의 값을 임의로 지정했을 때 점(p,q)를 지나는 직선에 대해서 x의 값을읽어 곧 근을 구할 수 있다.

예를 들면, 방정식 x²－x－2＝0에서는 p＝－1, q＝－2이므로 점(－1, －2)를 지나는 직선의 x값을 읽어 곧 x=－1, x＝2를 얻을 수 있다. 일반적으로 점(p,q)를 지나는 직선은 2개 있고, 그것이 2차방정식의 두 근에 대응하고 있다. 그 점을 지나는 직선이 하나밖에 없는 점에서는 근은 하나밖에 없고(중근), 지나는 직선이 하나도 없는 점에서는 실근(實根)이 없다(허근).

노모그램은 이 밖에도 여러 가지로 고안되어 있으며, 직선뿐만 아니라 곡선상에 눈금을 매긴 것도 있어 특수한 계산 결과도 그림으로 쉽게 알 수 있다.