나선

요약 극좌표(γ, θ)에 따른 방정식r=f(θ)에서 f(θ)가 단조(單調)인 함수일 때의 곡선이다. 공간동형의 둘레를 방향을 갖고 일정한 속도로 나아갈 때 자취를 말한다.

나사선 ·소용돌이선[渦線] ·헬릭스 또는 스파이럴이라고도 한다. f(θ)의 꼴에 따라 아르키메데스의 소용돌이선(r=aθ의 곡선) 등 여러 가지 나선이 된다. 또 공간도형에서는 점 P가 정직선 ℓ의 둘레를 일정한 속도로 돌면서 그 방향으로 일정한 속도로 나아갈 때, 이 점 P의 자취를 나선이라 한다.

이 정직선을 z축으로 잡아 이것을 직교좌표로 나타내면, 이 나선의 방정식은 x=a cos θ, y=a sin θ, z=b θ(a는 최초의 위치를 나타내는 x좌표, θ는 회전각의 크기, b는 z축 둘레를 회전하는 속도와 z축 방향으로 나아가는 속도와의비)가 된다. 이 곡선은 ［그림］과 같이 원기둥에 직각삼각형의 종이를 감을 때(변 BC는 밑면과 같은 맨 위에, AC는 축에 평행), 빗변이 원기둥의 측면 상에 감기어 이루어지는 곡선이라고도 할 수 있다.