개집합

요약 집합 U에 포함되는 임의의 점의 근방이 반드시 U에 포함될 때의 그러한 점들의 집합 U를 말한다.

개집합의 모든 점은 내점(內點)이다.

직선상의 개집합

직선상의 좌표가 a인 점을 a점이라고 할 때, 직선상 점의 집합 U가 개집합이라 함은, U에 속하는 임의의 점 x에 대하여 x∈I이고 또한 I⊂U가 되는 개구간(開區間) I가 존재한다는 것이다. 예를 들어 보면, U＝{ xx＞0 }에서 U에 속하는 임의의 점 a(a＞0)에 대해서는

를 취하면 a∈I이고 또한 I⊂U이므로 U는 개집합이다. 그런데 V＝{ xa≤x≤b}라 생각하면, a∈V에 대해서는 a를 포함하는 어떤 작은 개구간 I를 취해도 I⊂V로 되지 않는다. b에 관해서도 마찬가지이다. 따라서 V는 개집합이 아니다.

평면상의 개집합

평면상의 두 점 A,B의 거리를 A－B로 나타낼 때, 중심 P, 반지름 r인 원의 내부는 집합 {xx－P〈r} 이다. 이것을 Br(P)로 나타내고, 개원판(開圓板)이라 한다. 평면상의 집합 U가 개집합이라 함은, U에 속하는 임의의 점 P에 대하여, P를 중심으로 하는 U에 포함되는 개원판이 있다. 즉, 적당한 r를 선정하여 Br(P)⊂U로 할 수가 있다는 것이다.

직선상에서나 평면상에서나 개집합의 합집합은 모두 개집합이다. 직선상의 개집합은 몇 개의 개구간의 합집합, 평면상의 개집합은 개원판의 합집합이라 할 수 있다. 한편 개집합의 여집합은 폐집합이라고도 한다.