가우스의 법칙

요약 물리학의 기본적인 법칙 중의 하나로서 역제곱법칙(inverse square law)이 적용되는 중심력장에서 성립되는 법칙이다. 전기장이나 중력장에서 폐곡면 바깥으로 흘러나오는 유량은 폐곡면 내부에 있는 전하나 질량과 같은 근원 물질의 전체량에 비례한다는 법칙이다.

전하나 질량과 같은 근원물질(source)의 주위에 가우스 곡면(폐곡면)을 가정할 때, 폐곡면 바깥으로 흘러나오는 유량은 폐곡면 내부에 있는 근원물질의 전체량에 비례한다는 법칙이다. 주로 전기장을 둘러싼 폐곡면에 대해 수직으로 통과하는 전기장의 흐름, 즉 전기력선속은 전체 전하량에 비례한다는 전자기 법칙으로 잘 알려져 있다. 이것은 가우스의 정리(Gauss’s theorem)가 정전기장에 응용된 예로, 일반적으로는 중력이나 전자기력와 같이 역제곱 법칙이 성립하는 모든 힘에 응용할 수 있다. 가우스(Carl Friedrich Gauss)가 1835년 발견한 법칙으로 근원물질이 대칭성을 갖는 경우 큰 위력을 발휘하는 법칙이다.

중력장에 가우스의 법칙을 적용하면, 물체의 중력은 물체를 둘러싼 폐곡면의 중심에 모든 질량이 모여 있는 것으로 생각하고 구할 수 있다. 예를 들어 지구의 세부적인 질량 조성에 무관하게 지구를 둘러싼 임의의 폐곡면을 가정하고 그 폐곡면(구)의 중심에 지구의 모든 질량이 모여 있다고 생각할 수 있다. 그러면 지구로부터 비롯된 중력장선(gravitational field line)은 모든 방향으로 균등할 것이며 중력의 크기는 반지름의 제곱에 반비례한다. 즉, 중력은 폐곡면(구)의 중심으로부터의 거리에 따라 일정하게 주어질 것이다.

부피 V인 구 내부에 질량이 분포되어 있을 때, 구표면 S를 통해 빠져나가는 총 중력장선속 Φ_G을 가우스법칙을 이용해 구하면 아래와 같다.



여기서 g는 중력장, G는 중력상수, ρ_M은 질량밀도, M은 전체 질량이다.

정전기학에서 다수의 점전하 또는 전하분포가 만드는 전기장을 쿨롱의 법칙과 중첩의 원리를 이용해 직접 계산할 수도 있지만, 가우스의 법칙을 사용하면 보다 간단하게 구할 수 있다. 중력장에서와 마찬가지로 주어진 전하분포의 바깥에 부피 V인 폐곡면을 가정하면, 폐곡면의 표면 S를 통과하는 총전기력선속 Φ_E은 그 폐곡면 속에 포함된 총전하량과 같다.



여기서 E는 전기장, ε₀는 진공의 유전율, ρ은 전하밀도, Q은 전체 전하량이다.

예를 들어, 무한 도선 주위에 원통형의 가우스면을 가정하면 도선 주위의 전기장을 쉽게 구할 수 있으며, 전하가 분포된 구는 구의 내부와 외부에 각각 가우스 표면을 가정하여 구할 수 있다.