부당해고 구제신청 가능한가요?

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제 상황이 부당해고 구제신청 대상이 되는지 질문드립니다.

1. 2023/12/18 정직원 근로계약서 작성.
*주요내용
월급 210만원
근로시간 09:30~17:30
연차유급휴가 17일
사대보험 모두 가입
미기재 사항은 근로기준법령에 따름

2. 당시 서면 작성은 안하였는데 구두로 수습기간을 2개월 갖기로 하였고 이에 저도 동의하였습니다.

3. 12월 말일 첫 급여를 받았는데 당시 급여계산법이
210만원÷31×{9(실제근로기간)+2(주휴수당)}-3.3%
였습니다.
굉장히 당혹스러운 월급 계산법이었으나 도중입사자이고 첫달이라 사대보험가입이 되지않아 벌어진 일이라고 생각하고 넘겼습니다.

4. 1개월 후인 2024/1/17 사장님이 상담을 하자고 부르셨고
"네가 잘 일하고 있다고 생각하느냐?" 라고 물으셔서
저는 "솔직히 그렇지는 못한 것 같다."라고 답했습니다.
업무가 의료소모품 판매업이었는데 발주 등이 굉장히 속도감있게 진행되고 약어라든가..
고참분들끼리 눈치껏 진행하시는게 많아 눈치만 보고 버벅거리게 되는 일이 많더라구요. 질문을 이것저것 해가며 배워가고는 있었으나 어떤 체계적인 가르침이 있는 것은 아니라 따라가기는 힘들었습니다.
다만, 근무시간 등 조건이 좋아서 익숙해지면 괜찮겠지! 하고 의지를 다지던 중이었는데 사장님이 "우리는 일을 잘할 사람이 필요하다. 그럼 일은 여기까지만 해라."라고 통보하셨습니다.

5. 어쩔 수 없이 이에 동의하자 "말일까지는 시간을 줄 수 있다. 근무를 그 때까지 할지, 당장 그만둘지는 고민해서 결정해라."라고 하였습니다. 이후 사수와 2차면담을 가졌고 요지는 빨리 그만두고 적성에 맞는 일을 찾으라는 것이었어요.
해서 그날 저녁 카톡으로 당일 퇴사의사를 밝혔습니다.
즉, 24/1/17 퇴사하였습니다.

5. 그리고 해당월 말일 임금을 받았는데 한달 분을 받았습니다.
이때도 사대보험이 공제되어있지 않았는데, 퇴사 상황이라 일단 따지지 못하였습니다.

*이 경우 제 사대보험을 가입하지 않은 것이 정당한지?
*서면 통지를 받지 않은 해고에 대해 부당해고를 주장할 수 있는지?
*제가 실제 근무기간과 상관없이 말일까지의 임금을 받았는데, 원칙상 저는 해고예고 대상도 아니고 해고예고수당은 30일분 지급이라 이건 그냥 이도저도아닌 도의상 지급으로 보면 될지..

이게 노동부에 신고 가능한 사항일지,
이에 대한 구제로 임금상당액을 받아낼 가능성이 있을지 질문드립니다.