1) x와 y재의 보통수요함수를 구하시오.
보통수요함수는 가격에 대한 수요함수의 평균입니다. 따라서 x재와 y재의 수요함수를 각각 구한 후 가격에 대한 미분을 취해 평균을 구하면 됩니다.
x재의 수요함수: x = 10 - 0.5p + y
y재의 수요함수: y = 10 - p + 0.5x
x재의 보통수요함수: Dx/Dp = -0.5 + 0.5(Dy/Dp) = -0.5 + 0.5(0.5) = -0.25
y재의 보통수요함수: Dy/Dp = -1 + 0.5(Dx/Dp) = -1 + 0.5(-0.25) = -1.125
따라서 x재는 가격이 오르면 수요가 더 적어지는 보완재이고, y재는 가격이 오르면 수요가 덜 적어지는 대체재입니다.
2) 교차 탄력도를 구하고 두 재화가 대체재인지 보완재인지 밝히시오.
교차 탄력도는 두 재화의 수요변화율의 비율입니다.
교차 탄력도 = (Dx/Dp) / (Dy/Dp) = (-0.25) / (-1.125) = 0.222
교차 탄력도가 0보다 작으므로 두 재화는 대체재입니다.
3) 현재 x재의 가격이 2원, y재의 가격이 1원, 명목화폐소득이 40원일 때 이 소비자의 효용극대화 소비량을 구하시오.
이 문제를 푸는 방법은 라그랑주 승수법을 사용하는 것입니다. 라그랑주 승수법은 제한 조건이 있는 최적화 문제를 푸는 방법으로, 제한 조건을 라그랑주 승수로 대체하여 풀이합니다.
U = 20x - x^2 + 2y
제한 조건: 2x + y = 40
라그랑주 승수 L = U + λ(40 - 2x - y)
L = 20x - x^2 + 2y + λ(40 - 2x - y)
L을 x, y, λ에 대해 각각 미분하고 0으로 놓고 풀면 다음과 같습니다.
dL/dx = 20 - 2x - 2λ = 0
dL/dy = 2 - λ = 0
dL/dλ = 40 - 2x - y = 0
위 식을 풀면 x = 8, y = 24, λ = 2가 나오므로, 이 소비자의 효용극대화 소비량은 x = 8, y = 24입니다.
4) 위 (3)의 조건에서 다른 조건은 일정하고 x재의 가격만 1원으로 하락한다고 할 때, x재의 소비변화를 힉스의 대체효과와 소득효과의 크기로 각각 나타내시오.
x재의 가격이 2원에서 1원으로 하락하면, 새로운 제한 조건은 2x + y = 38이 됩니다. 이를 이용하여 라그랑주 승수법을 다시 적용하면 다음과 같습니다.
U = 20x - x^2 + 2y
제한 조건: 2x + y = 38
라그랑주 승수 L = U + λ(38 - 2x - y)
L = 20x - x^2 + 2y + λ(38 - 2x - y)
L을 x, y, λ에 대해 각각 미분하고 0으로 놓고 풀면 다음과 같습니다.
dL/dx = 20 - 2x - 2λ = 0
dL/dy = 2 - λ = 0
dL/dλ = 38 - 2x - y = 0
위 식을 풀면 x = 9, y = 20, λ = 2가 나오므로, 새로운 소비량은 x = 9, y = 20입니다.
따라서 x재의 대체효과는 1 (1원 가격 하락에 따른 소비량 증가)이고, 소득효과는 -2 (명목화폐소득이 일정하므로 가격 하락으로 인해 구매력이 감소함)입니다.
