미시경제학 소비자 효용 극대화 xy

Question

4년제 무역학과 2학년입니다효용함수 u(x,y)=x+2루트y 가격과 수입은 각각 px, py, b일 때 소비자효용 극대화 하는 x와y 구하기 (단 b>py)이문제에서 식 정리하고 막혔습니다 도와주세요 풀이과정 최대한 세세하게 부탁드립니다. 경제학천재분들내공100아 추가적으로 만약 b<py일때 소비자 효용을 극대화 하는 x와 y도 어떻게 되는지 부탁드립니다.

Accepted Answer

먼저, 소비자의 최대 효용을 구하기 위해서는 라그랑주 승수법을 사용합니다.

소비자의 최대 효용을 구하는 문제이므로 다음과 같은 최적화 문제로 표현할 수 있습니다:

Maximize u(x, y) = x + 2√y

subject to pxx + pyy <= b

여기서 라그랑주 승수법을 적용하면 다음과 같은 식이 나옵니다:

L(x, y, λ) = u(x, y) + λ(b - pxx - pyy)

위 식을 x와 y로 편미분하여 미분값이 0이 되는 x와 y값을 구하면 최적해를 구할 수 있습니다.

∂L/∂x = 1 - λpx = 0 -> λpx = 1

∂L/∂y = 1/√y - λpy = 0 -> λ = 1/(py√y)

b - pxx - pyy = 0

위 식들을 풀어 정리하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다:

x = b/px - (py/px)√y

2/√y = px/py -> y = (2/px^2)^2

x = b/px - (py/px)(2/px^2)

y = (2/px^2)^2

따라서 소비자의 효용을 극대화하는 x와 y는 다음과 같습니다:

x = b/px - (py/px)(2/px^2)

y = (2/px^2)^2

b<py일 경우, pxx + pyy <= b라는 제약 조건을 만족하는 영역이 없으므로, 제약 조건이 성립하지 않는 경우입니다. 이 경우에는 효용함수가 최대가 되는 x와 y를 찾을 수 없습니다.

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