게임이론 내쉬균형

고등학생분께서 대단하네요.

물론, 우월전략이라던지 내쉬균형이라던지 게임이론의 간단한 개념 정도는 고등학교 학생도 충분히 이해할 수는 있겠지만, 직접 관심이 생겨 찾아보고 그 부분을 이해하려고 했다는 점이 참 대단하다고 생각합니다.

기본적으로, 우월전략균형도 정확하게 알고 있는것 같고, 내쉬균형도 이해한것 같습니다.

예를 들어, 플레이어 A가 S라는 전략을 택하고, 플레이어 B가 P라는 전략을 택하는 상황이 내쉬 균형인지 아닌지를 판단하기 위해서는, 두 플레이어가 모두 최적반응(Best Response)을 보이고 있는지를 살펴보면 됩니다. 

즉, A의 입장에서 (B가 P를 택한다고 가정했을때) S를 택하는 것이 최적반응인가. 그리고, B의 입장에서 (A가 S를 택한다고 가정했을때) P를 택하는 것이 최적반응인가(즉, 다른 전략보다 P가 더 높은 보수를 가져다 주는가).

균형이란, 그 누구도 현재 자신의 상태 및 전략에서 다른 전략으로 바꿀만한 유인(incentive to deviate)이 없어야 하는 상황인데, 만약 A만 최적반응을 보이고 B의 경우 최적반응이 아니라면(즉, B가 현재 선택하고 있는 전략보다 더 나은 전략이 있다면), 그 상태는 균형이 아닙니다. 말씀해주셨듯이, B가 그 선택을 바꿀 수 있기 때문이죠.

결론부터 말씀드리면, 내쉬균형은 항상 존재합니다.

그러나, 질문자분께서 지금까지 살펴본 내쉬균형은 "순수전략" 내쉬균형입니다. 만약, "순수전략"으로만 범위를 한정시킨다면, 질문자분의 말씀대로 게임에 따라 (순수전략) 내쉬균형이 없을 수도 있습니다. 그러나, 범위를 더 넓혀 "혼합전략(Mixed Strategy)"까지 살펴본다면, 내쉬균형은 존재합니다.

혼합전략이란, 간단히 설명해 본다면,

예를 들어, 경기자 A가 S와 P라는 두 개의 순수전략을 가지고 있다고 해봅시다. 순수전략이란, 용어 그대로 순수하게 단 두가지 선택, 즉 단순히 S를 선택하거나, 단순히 P를 선택하는 전략입니다. 한편, 혼합전략이란, 이러한 두 가지 순수전략을 Mix하는 전략입니다. 어떻게 Mix 하느냐. 두 순수전략에 확률을 부여하게 됩니다. 순수전략이란 "나는 S를 택할것이다" 혹은 "나는 P를 택할것이다"라는 전략이지만, 두 순수전략을 합한 혼합전략은 예를 들어 "나는 S를 1/3 확률로 택하고, P를 2/3의 확률로 택할것이다"라는 전략의 형태가 됩니다.

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