1. 순수전략 내쉬균형은, (F,F), (C,C) 가 맞습니다.
2. 혼합전략 및 혼합전략 내쉬균형의 개념을 잘못 알고 계신것 같은데, 텍스트북 및 참고서에서 관련 개념을 한 번 더 살펴보길 권유드립니다.
경기자 1 의 경우, F 와 C 라는 두 순수전략을 가지고 있는데,
혼합전략이란, 경기자가 가지고 있는 각 순수전략에 확률을 부여한다는 개념입니다.
예를 들어, 100% 의 확률로 F 를 선택하거나, 100% 의 확률로 C 를 선택하지 않고(100% 의 확률로 어떤 전략을 선택한다는 것은, 그 전략이 순수전략이라는 의미), "30% 의 확률로 F 를 택하고 70% 의 확률로 C 를 택하겠다"라는 전략이 하나의 혼합전략이 될 수 있습니다.
즉, 혼합전략이란, 각 경기자가 본인의 순수전략에 부여하는 "확률"을 의미합니다.
경기자 1 이 F 에 부여하는 확률을 p(그러므로, C 에 부여하는 확률은 1-p), 경기자 2 가 F 에 부여하는 확률은 q(그러므로, C 에 부여하는 확률은 1-q)라고 한다면, 혼합전략 내쉬균형을 찾는다는 것은, 결국 p 와 q 값을 찾는다는 의미입니다. 두 경기자 모두 균형에서 정해진 p 와 q 값외 다른 혼합전략(확률값)으로 이동할 유인이 없는 상태를, 내쉬균형이라고 합니다.
순수전략 내쉬균형을 도출할 때 최적반응 분석을 사용했듯이, 혼합전략 내쉬균형을 도출할 때에도 최적반응 분석을 사용해야겠죠. 다만, 혼합전략이 사용될 경우 확률값이 개입되기 때문에, 어떤 전략을 택했을때의 보수가 확실하지 않으며 기대값으로 표현되겠죠.
예를 들어, 경기자 1의 입장이 되어본다면,
경기자 2가 q 라는 혼합전략을 사용한다고 가정할 때, 경기자 1 의 최적반응을 구해볼 것입니다.
즉, 경기자 2가 "F 를 q 의 확률로, C 를 1-q 의 확률로 선택하는" 혼합전략을 사용한다고 가정할 때, 경기자 1 의 최적반응을 구해볼 텐데,
경기자 1 이 F 라는 순수전략을 택하면,
q 의 확률로 4 를 받고, 1-q 의 확률로 1 을 받습니다.
따라서, 경기자 1 이 F 라는 순수전략을 택했을때 얻을 수 있는 (기대)보수는,
4 x q + 1 x (1-q) = 4q - q + 1 = 3q + 1
경기자 1 이 C 라는 순수전략을 택하면,
q 의 확률로 0 을 받고, 1-q 의 확률로 3 을 받으므로, 기대보수는,
0 x q + 3 x (1-q) = -3q + 3
그러므로, 만약 다음과 같은 부등식이 성립한다면,
3q + 1 > -3q + 3
F 라는 순수전략을 택했을 때 얻을 수 있는 (기대)보수가 확실하게 크다라는 뜻이므로,
경기자 1 은 F 와 C 라는 두 전략을 Mix 하지 않고, 확실히 F 를 선택할 것입니다. 즉, 순수전략을 사용할 것입니다.
반면, 다음과 같은 부등식이 성립한다면,
3q + 1 < -3q + 3
경기자 1 은 C 라는 순수전략을 확실히 선택하겠죠.
그러므로, 경기자 1 이 혼합전략을 사용하기 위해서는, 즉 경기자 1 이 F 라는 전략과 C 라는 전략에 각각 확률을 부여하여 두 전략을 Mix 하는 혼합전략을 사용하기 위해서는,
두 순수전략으로부터 얻을 수 있는 기대보수가 동일해야 한다는 조건이 있어야 겠죠.
즉, 다음과 같은 조건이 성립할 때 경기자 1 은 혼합전략을 사용할 것입니다.
3q + 1 = -3q + 3
방정식을 풀어 q 값을 찾을 수 있겠죠.
마찬가지 방법으로, 경기자 2 도 혼합전략을 사용할 수 밖에 없는 조건을 풀어낸다면, p 값을 구할 수 있을것입니다.
즉, p 값과 q 값을 구했다는 뜻은, 혼합전략 균형을 구했다는 뜻이 되겠죠.
혼합전략 균형이란,
경기자 1 이 F 를 p 의 확률로, C 를 1-p 의 확률로 선택하는 혼합전략을 사용하고,
경기자 2 가 F 를 q 의 확률로, C 를 1-q 의 확률로 선택하는 혼합전략을 사용하는 상황을 의미하겠죠.
계산 과정에서의 오류나 의문점 있으면 알려주세요.
