게임이론 내쉬균형

어떠한 형태의 게임이 주어지든, 게임의 정의부터 찾아보아야 합니다. 게임의 정의를 제대로 파악하면, 반은 먹고 들어간다라고 감히 말씀드릴수 있겠습니다.

게임의 정의란, 게임의 3요소를 정확하게 파악하는 것입니다.

<게임의 3요소>

1. 경기자

2. 각 경기자의 전략집합

3. 각 경기자의 선호 및 보수

1. 두 명의 경기자가 있습니다. A와 B

2. 각 경기자는 두 개의 전략을 가지고 있습니다. 서울을 선택하느냐, 인천을 선택하느냐.

그러므로, 다음과 같이 전략형 게임(game matrix)을 나타내어 볼 수 있습니다.

	서울	인천
서울
인천

(행=A, 열=B)

3. 각 경기자들이 무엇을 더 선호하는지, 보수들간의 관계는 어떻게 되는지에 관한 정보는 문제에 나타나 있습니다 "A는 서울을 더 좋아하고, B는 인천을 더 좋아한다"라는 정보와 "둘은 따로 있기를 싫어한다"라는 정보를 바탕으로 유추해볼 수 있습니다.

	서울	인천
서울	(a , b)	(c , d)
인천	(e , f)	(g , h)

내쉬 균형을 찾기 위해서는, 각 경기자의 최적반응을 살펴보아야 합니다.

즉, 상대방이 어떤 전략을 선택할때, 나의 최적반응은 무엇인가, 즉 나에게 가장 이득이 되는 선택이 무엇인가를 따져봐야 합니다.

경기자 1의 경우부터 차례차례 해봅시다.

만약, 경기자 2가 서울을 선택했을때, 경기자 1의 최적반응을 살펴볼 것입니다.

경기자 2가 서울을 택했을때, 경기자 1이 서울을 택하면 a를 받고 인천을 택하면 e를 받습니다.

그런데, 서울을 택해서 받는 a는 (경기자 1 서울, 경기자 2 서울)이 되어서 받는 보수이고, 인천을 택해서 받는 e는 (경기자 1 인천, 경기자 2 서울)이 되어서 받는 보수입니다.

문제의 가정에서 분명히, 경기자는 서로 떨어져 있는 것을 싫어한다라고 했으므로, a가 e 보다 커야합니다. e는 서로 떨어져서 받는 보수이니까요.

a가 e보다 크기 때문에, 경기자 1은 '서울'을 선택할 것입니다. 즉, 경기자 2가 서울을 택할때 경기자 1의 최적반응은 서울입니다.

	서울	인천
서울	(a , b)	(c , d)
인천	(e , f)	(g , h)

이번에는 경기자 2가 인천을 택할때 경기자 1의 최적반응을 살펴봅시다.

경기자 2가 인천을 택했을때, 경기자 1이 서울을 택하면 c를 받고 인천을 택하면 e를 받습니다.

그런데, 서울을 택해서 받는 c는 (경기자 1 서울, 경기자 2 인천)이 되어서 받는 보수이고, 인천을 택해서 받는 e는 (경기자 1 인천, 경기자 2 인천)이 되어서 받는 보수입니다.

비록, 경기자 1은 서울에서 만나는 것을 인천에서 만나는 것 보다 더 좋아한다고 했지만, (서울, 인천)은 서로 떨어져 있는 것이므로(그래서 경기자가 싫어하므로), 서로 붙어있는 (인천, 인천)을 더 선호할 것입니다. 즉, g가 c보다 더 클 것입니다.

따라서, 경기자 1의 최적반응은 인천이 될 것입니다.

	서울	인천
서울	(a , b)	(c , d)
인천	(e , f)	(g , h)

동일한 논리로 경기자 2의 최적반응도 살펴본다면,

	서울	인천
서울	(a , b)	(c , d)
인천	(e , f)	(g , h)

그러므로, 순수전략 내쉬균형은 (서울, 서울) 그리고 (인천, 인천)이라고 할 수 있습니다.