기본 행렬의 고유값과 고유 벡터는 무엇인지요?

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안녕하세요~

고유값과 고유 벡터에 대해 질문이 있습니다.

검색중에 아래와 같은 지식 정보 결과에 대해 궁금 증이 생겨서 문의 드립니다.

 

http://kin.naver.com/detail/detail.php?d1id=11&dir_id=110203&eid=5J2SLeXTGgl8zlwMNWmlgHd+keKYPv/L&qb=sO3Ar7Cq

 

 

1번은 2x2 기본 행렬을 4배한 4 x 기본 행렬로 보입니다.

계산 결과 

고유값 (람다)은 4 로 중근이 나오고

고유 벡터를 구하면

 

0 * X_1 = 0

0 * X_2 = 0

 

이 나와 제생각엔  고유 벡터는 모든 실수 값이 아닐까 합니다.

결과를 생각해 봐도

 

4 0

0 4  에 임의의 2x1 벡터를 곱해도

 

4 배의 임의 벡터가 나올테니까요..

아래 결과는

1 0  과  0 1 이라고 답변이 있는데 오답이 아닐까 해서요. 물론  답이 전체의 일부이기는 하지만요..

 

 

이에 대해 아시는 분 답변 부탁드릴께요..

 

 

 

 

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[질문내용]

고유값과 고유벡터에 대해서,, 

1번 (4 0 / 0 4 )  (/는 행렬바꿈 입니다)   

 

 2번 ( 2, -2, 0 / 0, 2, 0 / 0, 0, 0) 에대해

 

고유값과 고유벡터 구하는법 알려주세요 내공 많이드릴께요

 

 

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[답변내용]

 

1번

 

4 0

0 4

 

의 경우

 

행렬식

 

4-λ   0

0    4 -λ

 

= 0

 

에서

 

(4-λ)^2 = 0

 

이므로

 

λ = 4 (중근)

 

고유벡터는

 

1

0

 

과

 

0

1

 

두 개가되어 고유공간은  2차원

 

2번

 

2   -2     0

0     2    0

0     0     0

 

의 고유값을 구하기 위해 행렬식

 

2-λ     -2      0

0      2-λ      0

0        0     -λ

 

= 0

 

을 생각하면

 

(-λ)(2-λ)^2 = 0

 

에서

 

λ = 0 또는   λ = 2 (중근)

 

(1) λ = 0  일 때

 

2   -2     0

0     2    0

0     0     0

 

*

x_1

x_2

x_3

 

= 0  에서

 

x_1 - x_2  = 0

 

x_1 + x_2 = 0

 

를 얻고

 

x_1 = x_2 = 0

 

이므로

 

(x_1, x_2,x_3 ) = x_3 (0,0,1)

 

이다. 즉,  고유벡터

 

0

0

1

 

을 얻는다.

 

(2) λ = 2  일 때

 

0    -2     0

0     0     0

0     0    -2

 

*

x_1

x_2

x_3

 

= 0  에서

 

-2 x_2  = 0

 

  2x_3  =  0

 

를 얻고

 

x_2 = x_3 = 0

 

이므로

 

(x_1, x_2,x_3 ) = x_1 (1,0,0)

 

이다. 즉,  고유벡터

 

1

0

0

 

을 얻는다.

 

 

이 행렬은 고유값이 2개 밖에 않되므로 대각화 가능하지 않다.