오일러의 공식(e^ix)에 대해 더 자세히 알고 싶습니다.

1. 주어진 식을 제대로 이해하려면 복소함수 수준까지 올라가야 합니다. 오일러가 저 식을 유도(?)한 방법도 사실 고등학교 때까지 나온 지식으로는 이해할 수 없는 것이죠. 지수함수, 코사인, 사인의 매클로린 전개가 각각

e^x   =   1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...
cosx   =   1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +  ...
sinx   =   x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

임을 이용하여,

e^ix
=   1 + ix/1! - x^2/2! - ix^3/3! + ...
=   (1 - x^2/2! + x^4/4! - ...) + i(x - x^3/3! + x^5/5! - ...)
=   cosx + isinx

와 같이 유도했습니다. 물론 각각의 단계를 정말로 수학적으로 정당화시키려면 좀 더 많은 지식이 필요하지만, 어쨋든 결론적으로 저 유도가 옳았다는 것만은 사실입니다.



2. 저 공식으로부터,

cosx   =   (e^ix + e^-ix)/2
sinx   =   (e^ix - e^-ix)/(2i)

임을 알 수 있습니다. 한편,

∫_{from -π to π} e^inx dx   =   2πδ(n,0)

임도 쉽게 알 수 있습니다. 그러므로

∫_{from -π to π) cos mx cos nx dx
=   (1/4)∫_{from -π to π) (e^imx + e^-imx)(e^inx + e^-inx)
=   (1/4)∫_{from -π to π) (e^i(m+n)x + e^i(m-n)x + e^i(n-m)x + e^-i(n+m)x) dx
=   (π/2)(δ(m+n,0) + δ(m-n,0) + δ(n-m,0) + δ(-n-m,0))
=   πδ(m,-n) + πδ(m,n)

이고, m,n ≥ 1 이라면 위 식은

=   πδ(m,n)

이 됩니다. 사인의 경우에도 마찬가지로 체크해보세요.

18세게 최대의 수학자 오일러 (1707~1783년)

 

 

<800여 편의 저서>

 

18세기 최대의 수학자라고 할 수 있는 오일러는 1707년 스위스에서 태어났다. 그의 저서는 800여 편이나 되고 전집만도 45권의 분량을 남겼다.

 

그는 해석학의 체계를 세웠고, 변분학 등 많은 수학상의 업적을 남겼다.

 

 

<장님이 된 연구가>

 

 

그는 연구가 지나쳐 앞을 못 보게 되었음에도 불구하고 좌절하지 않고 12년 동안이나 연구를 계속하였다.

 

오일러의 연구 가운데 가장 빛나는 공적인 미적분 학은 그가 베를린에 있는 동안에 완성하였다.

 

그는 25년간 베를린에 머물러 있으면서 연구를 계속했기 때문에 흔히 도이칠란트 사람이라고 오해하는 일이 있다.

 

 

그러나 그가 태어난 곳은 스위스였고 그의 아버지는 목사였다.

 

목사인 그의 아버지는 일찍부터 그에게 수학을 가르쳐 주었고, 오일러는 자연스럽게 수학 연구에 몰두 할 수 있게 되었다.

 

 

<러시아와 독일에서>

 

 

오일러는 주로 독일에서 많은 연구 생활을 했는데, 러시아에 15년 동안 있으면서 많은 수학 공식을 연구해 냈다.

 

그는 1738년 러시아 지도를 만드는 데 수학적으로 도와달라는 부탁을 받고 그 일에 열중하다가 오른쪽 눈의 시력을 잃었다.

 

 

그래도 그는 젊은 제자들의 도움을 받아 장님이 된 뒤에도 2만연 쪽의 논문을 발표하였는데, 제자들의 계산은 암산으로 검산하곤 했다.

 

 

<18세기 최대의 수학자>

 

 

오일러의 연구는 거의 모든 분야에 걸쳐 빛나는데, 삼각 함수의 기호인 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan) 등을 비롯하여 자연 대수의 근에 쓰이는 기호 e, 허수의 기호인 i도 전부 그가 처음으로 사용한 기호이다

 

 

▷수학적 업적

 

1.오일러는 삼각 함수의기호 사인(Sin), 코사인(Cos), 탄젠트(Tan)와 호수의 기호i, 자연 대수의 밑수 e를 처음으로 쓰기 시작한 사람이다.

 

2.해석학, 미분방정식, 특성함수, 방정식론, 수론, 미분기하학, 사영기하학, 확률론 등의 수학 분야뿐만 아니라 물리학 분야에서도 뛰어난 업적을 남겼고, 또한 변분계산법과 복소함수론을 만들기도 했다.

 

3.오일러가 유한의 패턴을 무한으로 확장할 때 다소 부주의했다든지, 영혼이 물질이 아니라는 것을 진지하게 증명하는 등 그의 수학적 비실제성을 비판하는 소리도 있지만 이것이 그의 위대한 업적의 빛을 바래게 하지는 못할 것이다.

 

 

오일러는 실로 수학의 역사상 가장 많은 저술을 하였다. 그의 연구는 수론, 대수학, 급수론, 대수해석, 미적분학, 해석기하학, 확률론, 역학 등에 걸쳐 있으며, 총 45권의 저서와 700편의 논문을 발표하였다. 수학에 있어서 함수 의 표기, 자연로그의 밑, 삼각형의 내접원의 반지름r, 삼각형의 외접원의 반지름 R, 합의 기호 ,허수단위 등은 오일러의 의하여 보편화되었다. 또한, 그는 오일러의 공식 을 발견하였으며, 쾨니히스베르크의 다리 문제를 통하여 그래프 이론의 기초를 닸았다.

 

▷유명한 에피소드

 

제가 싹 찾아봤는데..시력에 관한 일화 말고는 없는것 같아요..

 

스위스에서 태어난 오일러는 러시아와 독일에서 대부분의 생애를 보냈다. 그가 러시아에 있을 때의 일이다. 여제 에카테리나의 궁정에 토대된 프랑스의 철학자 디드로는 무신론을 주장하고 있었다. 그의 이야기에 싫증이 난 에카테리나가 오일러에게 이 철학자의 입을 막아버리도록 명하자 오일러는 디드로에게 가까이 다가가 엄숙하고 확신에 찬 태도로 그에게 말했다.

 

"각하, (a+bn)/n=x 그러므로 신은 존재합니다. 대답 해주십시오."

 

디드로가 대답을 못하고 있는데, 갑자기 폭소가 터졌고 디드로는 프랑스로 돌아갔다고 한다.

 

그에게 불행이 닥친 것은 파리 학사원 상을 받으려고 시도하면서이다. 저명한 수학자들이 몇 개월의 시간을 달라고 할 정도로 어려운 문제를 그는 상을 받기 위하여 사흘 만에 풀었는데 너무나 오래 긴장한 상태로 집중한 결과 오른쪽 눈이 안보이게 된 것이다. 그는 생애의 마지막 17년은 완전한 장님으로 보냈다. 그러나 베에토벤이 귀가 먼 후에도 음악 활동을 계속 했던 것처럼 눈이 안 보이게 된 후에도 오일러는 복잡한 계산은 머리 속에서 암산으로 하여 논문은 구술하면서 그 이전과 마찬가지로 열심히 살았다고 한다.

 

사람에게 중요한 것은 시력이나 청력보다는 자신의 재능이 무엇인지 알 수 있는 통찰력과 그것에 매진하는 성실성인 것이다.