전공 수학 정수론 질문입니다..

전공 수학 정수론 질문입니다..

작성일 2004.08.12댓글 1건
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500! X 200! 이 35^n(35의 n승)으로 나누어 떨어질 때, 정수 n의 최대값은??

(500!=1X2X3X.......X499X500입니다..)


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profile_image 익명 작성일 -

수학 전공자가 아니어서 풀이방법이 깔끔하지 못할테지만,

풀어보면, 다음과 같습니다.


먼저 나누어 떨어진다고 했으니까 다음과 같은 등식이 성립하겠네요.

500! * 200! = a * 35^n (단, a는 자연수)

양변에 로그를 취하면,

log 500! + log 200! = log a + n*log7 + n*log5 가 되구요.

왼쪽항의 factorial들 또한 덧셈 형태로 빠져 나갈 것이고,

그리고 각 숫자들의 인수들 또한 덧셈형태로 빠져 나갈 것이기 때문에,

예를들면,

log 200! = log 1 + log 2 + log 3 + (log 2 + log 2) + ...

이러한 모양이 되기 때문에,


log 500!안에 log7의 개수는 500/7(=71) + 71/7(=10) + 10/7(1) = 82개가 되구요.

log 200!안에 log7의 개수는 200/7(=28) + 28/7(=4) = 32개가 되는군요.

좌변의 log5의 개수는 log7의 개수보다 많을 것이기 때문에

log7의 개수가 n의 최대값이 되겠네요.


그러므로 n의 최대값은 '114'가 되네요.

전공 수학 정수론 질문입니다..

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