배반, 종속, 독립 에 관한 질문(내공100!!!!!!!!!!!!!!!!!)

1. 배반사건을 식으로 표현하면

            두 사건 A, B 가 배반사건이다. 

<==>   두 사건의 곱사건 A ∩  B 가 공사건이다.

<==>   P(A ∩  B) = 0

이 의미를 풀어서 설명하면,

이러한 개념을 명확하게 이해하기 위해서는 우선 표본공간, 사건 등의 용어를 정확하게 이해해야 합니다.

(1) 표본공간 : 시행의 결과로 일어날 수 있는 모든 결과 전체의 집합

(2) 사건 : 표본공간의 부분집합

두 사건 A, B 가 배반이라 함은 두 사건의 곱사건이 공사건이다.

즉, 겹치는 부분이 없다는 것이죠. 다시 말하면 공통인 근원사건이 없다는 것입니다.

(동시에 일어나지 않는다는 뜻이 시간적인 문제가 아니라 이런 뜻입니다.)

이 개념을 정확하게 이해해기 위해서는 어떤 시행이 주어졌을 때 표본공간이 어떻게 설정되는지 관찰하고 사건들은 또 어떻게 되는지 등을 분석해보면 됩니다.

예를 들면, 주사위 한개를 던지는 시행을 생각합니다.

표본공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 이죠.

A 는 홀수의 눈이 나오는 사건, B 는 짝수의 눈이 나오는 사건, C 는 소수의 눈이 나오는 사건이라 하죠.

사건을 집합을 나타내어보면, A = {1, 3, 5},  B = {2, 4, 6},  C = {2, 3, 5} 입니다.

따라서, A 와 B 는 배반이고, B 와 C 는 배반이 아니죠.

 

2. 종속이냐 독립이냐 하는 것이 항상 직관적으로 쉽게 파악이 되는 것은 아닙니다.

예를 들어보겠습니다.

(1) 자명한 독립관계인 사건의 예

동전 한개와 주사위 한개를 던지는 시행을 생각합니다.

표본공간은 {(H,1), (H,2), (H,3), (H,4), (H,5), (H,6), (T,1), (T,2), (T,3), (T,4), (T,5), (T,6)} 입니다.

A 는 동전의 앞면이 나오는 사건이라 하고, B는 주사위의 홀수의 눈이 나오는 사건이라 합니다.

A 와 B 는 자명하게 독립이죠. 계산으로 확인해보더라도 마찬가지입니다.

P(A) = 6/12 = 1/2 ,   P(B) = 6/12 = 1/2 ,  P(A∩ B) = 3/12 = 1/4

따라서, P((A∩ B) = P(A) * P(B) 이므로 독립이죠.

(2) 자명해보이지 않은 독립사건의 예

주사위 한개를 던집니다.

A 는 3의 배수의 눈이 나오는 사건, B 는 소수의 눈이 나오는 사건이라 합니다.

P(A) = 2/6 = 1/3 ,  P(B) = 3/6 = 1/2 ,  P(A∩ B) = 1/6

따라서, P((A∩ B) = P(A) * P(B) 이므로 독립이죠.

그런데, 이 경우에는 사실 두 사건이 독립관계라는 것이 팍 와닿지는 않아 보입니다.

저만의 생각인가요? ㅋㅋ

우야뜬 이 두 사건도 독립사건이므로 서로 영향을 미치지 않는다는 것입니다.

 

3. 2의 (1)과 (2)를 비교해보시면 독립, 종속을 판정하는데 시간이 중요한 전제조건이 아님을 알 수 있습니다.

2의 (1)에서 동전과 주사위를 같이 던지든, 따로 던지든 아무 상관없지 않나요?

 

1.배반사건은  A,B가 동시에 일어 나지 않을때 라고하는데

 그 뜻이 A=동전 앞면, B=동전뒷면  이뜻인가요,

  아니면 A=주사위 던지기 B=동전 던지기라서 그 시행이 동시에 일어나지 않는다는 뜻인가요?

 

'A=동전 앞면, B=동전뒷면 '의 뜻 입니다.

 

 

 

 

 

 

3.동시에 일어나면, 시간차가 없다면 무조건 독립인가요?

독립 - 종속사건의 구분은 시간으로 하는게 아니라

하나의 사건이 다른 사건에 미치는 영향이 있는가로 판단하는 겁니다.

 

예를들어 주사위를 두번 던진다고 한다면,

첫번째 던진 주사위의 값이 두번째 던져서 나온 주사위의 값에 아무런 영향을 미치지 않습니다.

이런게 독립사건입니다. 서로 독립된 사건이라는 뜻이죠.

 

반대로 하나의 사건의 결과가 다른 사건에 영향을 미치는 경우가 있습니다.

예를들자면, 속이 안보이는 상자에 검은공 2개, 흰공 2개가 있는데,

처음에 공을 뽑아서 빼내고 두번째 또 빼낸다고 해봅시다.

그럼 처음에 어떤 공을 뽑았는지가 두번째 공의 색에 영향을 미치겠지요.

이런건 독립사건이 아닙니다.

 

이번에는 그 상자에서 공 2개를 뽑아봅니다.

시간차가 없도록 동시에 2개를 뽑는거죠.

이 경우 시간차가 없이 동시에 뽑았다고는 하지만 2개의 공이 독립되어 있다고 할수는 없겠지요?

 

독립사건이 되려면 먼저 뽑은 공을 다시 상자에 집어넣고,

그 뒤에 두번째 공을 뽑으면 그때 비로소 독립사건이 되는겁니다.

 

 

 

 

2. 독립사건은요, 말 그대로 독립되어 있는 사건이잖아요.

서로가 서로에게 아무런 영향을 미치지가 않지요.

 

그래서 A가 일어날 확률이 P, B가 일어날 확률이 Q라고 하면

A와 B가 함께 일어날 확률은 P * Q가 되는겁니다.

(예를들자면 동전앞면 : 1/2, 주사위 숫자 6 : 1/6이니까

주사위 6나오고 동전은 앞면이 나올 확률인 곱해서 1/12가 되는거죠)

 

반대로 A와 B가 함께 일어날 확률이 A확률 * B확률하고 다르면

종속사건인 겁니다.