중학교 1학년인데요 방학숙제로 수학신문을 만들어야되요 어떻게하는지알...

http://user.chollian.net/~brainstm/mbj/mbj_world.htm

공식도 거기 있을거에요...

마방진의 풀이

우선 마방진은 홀수차 마방진과 짝수차 마방진의 두개가 있습니다.

홀수차란 가로,세로가 홀수개인 것이고 짝수차란 가로세로가 짝수개인 것을 말합니다.

홀수차의 형태를 집어 넣을때는요.

이렇게 바깥쪽에 사각형을 하나씩 더그립니다.(위에 동그라미 친곳만 그리는 것입니다.)

다음으로 아무 귀퉁이에서든지 숫자를 시작하여 대각선 차례로 집어넣습니다.

밖으로 삐져나온 숫자를 같은색으로 보내세요...다시말하면 모양 그대로 반대로 보냅니다.

그러면

짝수차 마방진(이것은 4의배수 형태만 됩니다.)

대각선을 색칠합니다.(엄밀하게는 1:2;1로 나누어서 전부다 색칠합니다.)

오른쪽 아래부터 거꾸로 까만색에만 해당되는 숫자를 차례로 집어 넣습니다.

이제는 위에서 부터 남은칸에만 해당되는 숫자를 차례로 집어 넣습니다.

6차마방진은 위 싸이트를 참조하세요.

수학적인 미해결 문제들

수학에서 아직 미해결인 문제 가운데, 이해하기 쉬운 몇 개를 듭니다.

물론, "이해하기 쉽다"고 해서, 증명도 쉬울 것이라고 생각하다간 큰 코 다칠 문제들입니다만... ^^;

 3n+1 문제

임의의 자연수 n에 대해 다음과 같은 조작을 반복합니다.

n이 짝수면 2로 나누고, n이 홀수면 3n+1을 구한다.

예를 들어, n=5로 시작하면, 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 이 됩니다.

어떤 자연수 n에 대해서도, 이 조작을 유한 번 시행하면 1이 될 것이라고 예상하는데, 7000 0000 0000보다 작은 모든 짝수에 대해 성립한다는 것이 밝혀져 있긴 하지만, 아직 아무도 증명하지 못했습니다.

유명한 헝가리 수학자 폴 에르되시(Paul Erd\"os)는, "우리의 수학은 아직 이 문제를 풀 준비가 되어 있지 않다."라고 했습니다.

 쌍둥이 솟수

p와 p+2가 모두 솟수일 때, 이 둘을 쌍둥이 솟수라고 합니다.

예를 들어, 3,5; 11,13; 17,19; 29,31 따윕니다.

쌍둥이 솟수가 무한히 많을 것이라고 예상하지만, 역시 아무도 증명하지 못했습니다.

 골드바흐의 예상

"2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 솟수의 합으로 나타낼 수 있다"라고 골드바흐가 주장했습니다.

200 0000 0000까지의 모든 짝수에 대해서는 옳다는 것이 컴퓨터로 조사되었습니다만, 역시 아무도 증명이나 반증을 못했습니다.

Goldbach 예상의 bound 가 4×10¹⁴로 올라갔음.
7 이상의 모든 홀수가 세 소수의 합이라는 Odd Goldbach 예상이 거의(?) 풀렸음.
(10^43000 이상의 홀수는 세 소수의 합임이 증명되었음. Riemann 가정을 이용하면 훨씬 줄일 수 있음이 알려졌음)

 메르센 수

p가 솟수일 때, M_p = 2^p - 1 을 메르센 수라고 합니다.

메르센 수가 솟수일 때, 특히 메르센느 솟수라고 하는데, 메르센 솟수가 무한히 많이 존재할까요?

또 하나, 메르센 수는 제곱수로는 나누어 떨어지지 않을 걸로 예상하는데 이것 역시 아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다.

 페르마 수

페르마는 F_n = 2^{2^n} + 1이 언제나 솟수일 걸로 예상했지만, F₅가 합성수임이 밝혀져 예상이 틀렸습니다. 

그 이후, 많은 페르마 수가 합성수임이 밝혀졌지만, 아직까지 솟수인지 합성수인지를 모르는 최소의 페르마 수는 F₂₂ 입니다.

한편, 페르마 수가 솟수일 때, 그 솟수를 페르마 솟수라고 하는데, 이런 솟수가 무한히 많은지 그렇지 않은지도 아직 모릅니다. 

지금은 거꾸로, n이 5보다 크거나 같은 경우, F_n은 언제나 합성수가 아닐까 예상하고 있습니다. 

Fermat 소수는 F₁₁ = 2^{2^11} + 1 까지 인수분해가 완료되었음.
F₂₂는 합성수로 판정이 났음.

 피보나치 솟수

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...를 피보나치 수열이라고 합니다. (각 항은 앞 두 항을 더해서 구합니다.)

이 수열은 솟수를 무한히 많이 포함하고 있을까요?  

 n² + 1 꼴의 솟수

n² + 1 꼴의 솟수가 무한히 많이 존재할까요?

 k 2ⁿ + 1 꼴의 합성수

모든 자연수 n에 대해 k 2ⁿ + 1 이 합성수가 되는 k가 존재하는 것은 알려져 있는데, 이런 k의 최소값은 무엇일까요?

 제곱 수 사이의 솟수

연속된 두 수의 제곱 사이에는 언제나 솟수가 존재할까요?

2 이상의 자연수 n에 대해, n과 2n 사이에 솟수가 존재한다는 것은 Bertrand Postulate로 알려진 유명한 문제로 이미 오래 전에 참으로 밝혀졌습니다. 그러나 이 문제처럼 제곱인 경우는 아무도 모릅니다.

 큰 수의 인수분해 

솟수가 아닌 것만 알 뿐, 그 소인수 분해를 모르는 수가 많습니다. 

페르마 수 F_n = 2^{2^n} + 1 의 경우, 그 인수분해가 알려져 있는 것은, n이 8까지인 경우뿐입니다.

n이 9보다 크거나 같은 경우, 겨우 몇 개의 인수만 알려져 있습니다.

 홀수 완전수

6의 약수 가운데 자기 자신을 제외한 나머지 1, 2, 3을 모두 더하면, 다시 6이 됩니다.

이처럼 자신을 제외한 약수를 모두 더한 값이 다시 자기 자신일 때, 그 수를 "완전수"라고 합니다.

짝수인 완전수의 일반적인 꼴은 이미 알고 있지만, 홀수인 완전수는 아직 단 하나도 발견되지 않았습니다.

여러 연구 결과, 아마도 그런 수가 존재하지 않거나, 존재한다면 어마어마하게 큰 수 --- 10³⁰⁰보다 커야 합니다 --- 란 것까지는 알려져 있습니다.

 π + e

π와 e는 무리수일 뿐 아니라, 심지어 초월수라는 것도 밝혀져 있습니다. ("초월수"란 정수 계수 다항 방정식의 근이 될 수 없는 수를 말합니다.)

그런데 π + e 는 초월수는 커녕, 유리수인지 무리수인지도 모릅니다.

 오일러 수

"오일러 수"로 불리는 것들이 여럿 있는데, 여기서 말하는 것은, 다음과 같이 정의합니다.

γ = lim_n→∞ ( 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - log n )

이 γ가 수렴한다는 것은 쉽게 보일 수 있지만, 이 수가 유리수인지 무리수인지도 아직 모릅니다.

아마도 무리수일 뿐 아니라, 초월수까지 되지 않을까 생각하고 있습니다.

 아페리의 수

ζ(3) = 1/1³ + 1/2³ + 1/3³ + 1/4³ + ... 으로 정의합니다.

아페리(Apery)가 이 수가 무리수임을 보였지만, 아직 초월수인지 아닌지는 알지 못합니다.

아페리의 증명이 발표되었을 때, 그 방법이 뜻밖에 간단해서, 많은 수학자들이 "나도 한번 해 볼걸"하고 땅을 치고 통곡했다는 전설(?)이 있죠. ^^;

 카탈랑의 예상

연속된 두 정수가 거듭제곱 수인 경우는 언제일까요?

2의 세제곱인 8과 3의 제곱인 9만이 유일하다고 예상하고 있습니다.

물론 거듭제곱 지수는 1보다 큰 경우만 생각합니다.

2002년 5월, 체코 수학자 Preda Mihailescu가 드디어 증명에 성공하였습니다.

 이집트 분수

분자는 1, 분모는 자연수인 분수를 이집트 분수라고 합니다.

1보다 큰 임의의 자연수 n에 대해, 4/n 을 세 개의 이집트 분수로 나타낼 수 있을까요?

바꿔 말하면, n이 어떤 값이라도, 4/n = 1/x + 1/y + 1/z 를 만족하는 양의 정수해 x, y, z가 존재하겠느냐는 겁니다.

※ 혼동의 여지가 있어서 조금 고쳤습니다.

 5차 부정 방정식

다음 방정식을 만족하는 서로 다른 자연수 a,b,c,d가 존재할까요?

a⁵ + b⁵ = c⁵ + d⁵

 일곱 개의 세제곱들의 합

454보다 큰 모든 정수는 일곱 개 이하의 양의 정수를 세제곱한 것들의 합으로 나타낼 수 있을까요?

 유리수 거리

평면 위에 한 변의 길이가 1인 정사각형이 놓여 있습니다.

이 정사각형의 네 꼭지점에 이르는 거리가 모두 유리수인 점이 이 평면에 존재할까요?

 유리수 상자

임의의 두 점 사이의 거리가 모두 정수인 직육면체가 존재할까요?

 내접 정사각형

평면 위에 단순 폐곡선이 주어졌을 때, 정사각형의 네 꼭지점이 되는 점들이 이 곡선 위에 존재할까요?

단순 폐곡선이란 자기 자신과 만나지 않는 폐곡선을 말합니다.

 우아한 트리

유한 개의 점과, 그 점들을 잇는 선들로 이루어진 도형을 "그래프(graph)"라고 합니다.

이 때, 이 그래프의 점을 "버텍스(vertex)"라고 하고, 버텍스들을 잇는 선을 "에지(edge)"라고 합니다.

그래프 가운데, 한 버텍스에서 다른 버텍스로 에지를 따라 가는 방법이 유일할 때, 이런 그래프를 특별히 "트리(tree)"라고 합니다.

전산이나 컴퓨터 프로그래밍을 공부한 분이라면 "트리 구조"라는 걸 아실 겁니다.

n 개의 버텍스를 갖는 트리에, 1부터 n까지 숫자를 준 다음, 각 에지에는 양 끝의 두 버텍스에 주어진 숫자들의 차를 줍니다.

이렇게 했을 때, 만약 에지의 숫자들이 모두 다르다면, 이 트리는 "우아하다(graceful)"고 정의합니다.

예를 들어, 9 개의 버텍스를 가진 트리에 다음 그림처럼 숫자를 줍니다.

               5    1----4              /    /        7----3----9----2         \    \          6    8

이 트리의 에지는 1부터 8까지의 서로 다른 숫자를 갖습니다.

따라서, 이 트리는 우아한 트리(graceful tree)입니다.

그런데, 혹시 모든 트리는 다 우아하지 않을까요?

아직 아무도 증명이나 반증을 하지 못했습니다.

 마법의 나이트 경로

8x8 체스판 위에서 나이트(knight)가 어떤 칸도 꼭 한 번만 방문하도록 움직이면서, 방문하는 칸마다 1부터 64까지 차례대로 번호를 붙입니다.

이 때, 그 결과가 마방진이 되게 할 수 있을까요?

semi-magic knight tour라고 해서, 가로 세로의 합이 모두 같게 되는 경로는 발견되었지만, 대각선의 합까지 모두 같은 것은 아직 발견되지 않았습니다

미해결 문제 출처 : http://puzzle.jmath.net/math/essay/unsolved.html

수학소식

남인도양에서 펭귄 30쌍을 관찰해온 파리-쉬드대학 생물학자들은 펭귄이 강풍이 부는 서식지에서 접촉을 유지하기 위해 본능적으로 수학적 통신 이론을 이용하고 있다면서 풍속에 따라 음절과 울음의 수를 늘린다고 주장.

펭귄 한쌍은 교대로 알을 품고 새끼를 기르는데 한 마리가 사냥을 나갔다 돌아돌때 약 4만마리나 되는 무리 속에서 울음소리를 듣고 새끼를 돌보고 있는 상대방을 알아차린다는 것.

생물학자들은 펭귄이 약한 바람에도 목청껏 우나 강풍에서 더 이상 목소리를 높일 수 없을 때는 울음과 음절의 수를 늘려 자기 짝을 찾는다고 설명했다

프랑스 국립 경제학 및 통계학연구소는 17일 보고서를 통해 수학 과목 성적에서는 싱가포르 학생들이 1위, 한국 2위, 일본 3위, 홍콩 4위 등의 순서였다고 밝혔다.

또 과학 과목에서는 싱가포르 학생들이 역시 1위를 달렸으나 2위는 체코공화국출신 학생들이 차지했으며 일본 3위, 한국이 4위를 기록했다.

15일 교육부가 UNESCO, OECD 등 국제기구 자료를 토대로 펴낸 [통계로 본 세계속의 한국 교육]에 따르면 초등학교 4년생을 기준(95년)으로 수학 학습 성취도면에서 평균 471점을얻어 일본(457점), 미국(407점)을 제치고 OECD 16개국 가운데 1위를 차지했다.

중학 2년생(607점)도 일본(605점)을 근소한 차로 따돌리고 수위에 올랐다.

또 성인 문맹률은 우리 나라가 2%에 불과, 멕시코나 중국, 홍콩, 필리핀 등 경제규모가 비슷한 29개국 중 제일 낮았다.

그러나 우리 나라의 취학전 교육(유치원)에 대한 공교육비의 비율(94년 기준)은 1%에 그쳐 중국(1.4%), 태국(1.8%)보다 낮았으며, 초등교육의 경우도 44.5%로 아르헨티나(72.3%), 태국(51%) 등 보다 뒤처졌다.

중등교육(한국 34.4%, 프랑스50%, 말레이시아 41.2%, 뉴질랜드40.7%)도 마찬가지였다.

특히 고등교육에 대한 공교육비 투자비율은 한국이 7.9%로 네덜란드(39%), 미국(93년 23.3%), 일본(92년13.5%) 등 다른 나라보다 월등히 낮았다. 또 연구개발비 가운데 정부투자 비율은 한국이 15.9%로 홍콩(91%), 태국(79.7%), 미국(35.5%) 등에 비해 극히 낮은 수준이었다.

① 공식을 외워도 어디다 써먹을지 모를 때

② 예전에맞췄던 문제 다시 풀었는데 틀렸을 때

③ 날짜가 25일이고 내가 25번일 때(지적 대상 1순위, 하루 종일 긴장…)

④ 수학 시험 시간에 시간이 남아돌 때

⑤ 시험지에 계산하라고 있는 여백에 그림 그리고 있을 때

⑥ 틀린 개수만큼 맞을 때(도대체 몇대를 맞아야 하는지…)

⑦ 시험지에 각자 자기 틀린 것만 다시 풀어오라고 숙제 내줄 때(틀린 게 한두개여야지.)

⑧ 딴 애들은 칠판에 나가 조금이라도 끄적이다 복도로 나가는데 나는 바로 복도로 직행할 때

⑨ 시험중 도형의 길이를 구하라는 문제에서 직접 자 대고 길이 잴 때

⑩ 주관식 답은 무조건 ‘1’이라고 쓸 때(만만한 게 ‘0’ 아니면 ‘1’)

⑪ 미지수를 푸는 문제에서 보기에 있는 숫자를 일일이 다 대입해볼 때

⑫ 참고서에 있는 답 모조리 외워갔는데 막상 머리속이 텅텅 빌 때

⑬ 색연필로 점수매기는데 온통 빨간 소나기가 내릴 때

⑭ 모두 객관식이었는데 빵점 받았을 때

⑮ 확률문제…. 공식 안쓰고 일일이 하나하나 적어서 풀 때(무식하면 손발이 고생이다