테일러 급수 활용 [내공多]

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테일러 급수 활용 [내공多]

작성일 2016.07.22댓글 2건
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안녕하세요 성실한 답변 부탁드립니다

1. 테일러 급수는 어떤 장점이 있나요?

2. 테일러 급수가 활용되는 사례를 구체적으로 알려주세요
(로보트 이족보행에 있어 계산 값을 쉽게 도출해낸다 이런거 말고.. 정확히 계산 하는 과정이라든지 등)

갑사합니다


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profile_image 익명 작성일 -

테일러 급수를 제대로 이해하고 계시다면
테일러 급수의 존재 이유가 근사값 찾기에 있다는 것을 잘 아실겁니다.
정확한 값을 구하면 되지 왜 근사값을 구하느냐는 데에 있어서는
잘 아시겠지만 당연히 우리는 그 정확한 값을 구할 수 있는 계산식이 없기 때문에
근사치라도 구하게 되는 것입니다.
예를 들어서 우리가 y=x 는 계산할줄 알지만 y=x^2은 계산할 줄 모른다고 쳐봅시다.
x=1 일때 두 식은 값이 같게 됩니다. x=2 일때 두 식은 3정도의 차이가 발생하지만 아직은 근사합니다.
x=3이 되면 두 식이 8정도의 값의 차이가 발생하게 됩니다.
x가 적은 값에 대해서는 충분히 비슷한 값을 얻을 수 있지만
x가 커질수록 우리가 원하는 값에서 멀어지게 됩니다.
이 때 우리는 x가 클 때 y=x라는 식을 y=x^2이라는 식에 가깝게 
y=x라는 식을 약간 변형 시켜줄 필요가 생기게 됩니다.
여기에 착안한게 테일러 다항식입니다.
(지금 제가 설명한 것은 대단히 대단히 대단히 간략하고 쉽게 설명했기 때문에
원래의 정의랑은 다른 부분이 매우 많습니다. 대충 의미는 비슷합니다.)
y=x 라는 식이 x^2이라는 식이랑 다르기 때문에 x 라는 식 뒤에 항을 여러개 붙여주면서 식을 수정하게 됩니다. (원래의 방법은 좀 다릅니다. 미분과 관계가 있어서 설명은 안하겠습니다.)
이 때 항이 늘어나면 늘어날수록 x라는 식은 정교하게 x^2이라는 식이랑 가까워 지게 됩니다.
그래서 테일러 "다항식" 이라고 부르는 것입니다.
우리가 가까운 값을 얻고 싶을수록 테일러 다항식은 뒤로 항이 꼬리를 물고 계속 이어지게 됩니다.

그러면 우리가 이렇게 번거롭게 테일러 다항식을 쓰는 이유가 뭐냐.
처음에 설명 드렸듯이 우리가 정확한 값을 계산할 능력이 안되기 때문입니다. (불가능하기 때문)
우리가 정확한 계산 값을 얻지 못하는 데에 모두 테일러 다항식을 쓸 수 있다고 생각하시면 됩니다.
극단적으로 말씀 드리자면 지구라는 행성의 중력을 아예 안받으려면 어느 거리 까지 가야 되는가.
라는 문제가 있다고 했을때 일단 답은 중력을 아예 안 받을 수는 없습니다. (어느 거리에 있던지)
그래서 정해놓은 거리는 물리학에서 일단은 무한대라고 놓습니다. 
하지만 무한대라는 것은 수치가 아닙니다. 엄청나게 멀리있다는 뜻으로 쓰이는 기호입니다.
우리는 중력이 0이 되는 식을 세울 수는 없지만(무한대가 나오기 때문에) 
중력이 0에 가까워 지는 식은 세울 수 있습니다. 바로 테일러 다항식을 이용하는 것이죠.
이런 식으로 우리가 구할 수 없는 식에 테일러 다항식을 사용하면 유용하겠습니다.

 * 지금 제가 늘어놓은 설명은 중학생도 이해시키기 위해 극단적인 비유를 많이 들었습니다.
원래의 테일러 다항식이라는 내용이랑 벗어난 부분이 많기 때문에 걸러 들으시기 바랍니다.

profile_image 익명 작성일 -

1. 테일러 급수의 장점은 초월함수(지수함수, 로그함수, 삼각함수)를 다항식으로 근사시켜 다루기 편하게 한다는 점에 있습니다.

2. 가장 간단한 사례를 들자면 공학계산기를 들 수 있겠네요. 공학계산기에서 삼각함수, 로그 등을 계산하는 방법이 바로 테일러 급수입니다. 삼각함수를 계산하려고 계산기가 삼각형을 그려서 변의 길이를 잴 수는 없으니 테일러급수로 5차~7차식까지 근사하여 전개를 하면 소수점아래 7자리 정도까지는 오차없이 계산할 수 있게 되죠. 

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문제의 어느부분을 보고 처음 풀이를 시작하는 지 알려주시면 감사하겠습니다. 2문제(3번,4번) 추가 질문드려요 추가내공 50입니다. 풀이 첨부합니다.

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