삼차방정식 공역의 복소수화, 음수의 제곱근 연산 규칙

카르다노의 공식이라고 하며 3차방정식의 근을 구하는 한 방법입니다. 이 방법을 적용하기 위해서는 3차방정식의 일반식인

ax³ + bx² + cx + d = 0 (a≠0)
에서 z = x + b/(3a) 로 치환하여 제곱차수의 항을 제거해야 합니다.

그렇게 해서 얻어진 식

z³ + pz + q = 0
에서 이번엔 z = u + v 로 치환합니다. 이 때 특수한 경우가 아니면 보통 q≠0이며 z = 0은 해가 될 수 없으므로 u + v≠0이며 대입하면

u³ + v³ + 3uv(u + v) + p(u + v) + q
= (u³ + v³ + q) + (u + v)(3uv + p) = 0
이 됩니다. u + v≠0 이었으므로 위 식이 항상 성립하기 위해서는 u³ + v³ + q = 0, 3uv + p = 0
이어야 합니다. 두 번째 식에서 v = -p/(3u)를 얻고 이걸 첫 번째 식에 대입하면 다음과 같이 u³에 관한 2차방정식이 얻어집니다.

u³ + {-p/(3u)}³ + q = 0
(u³)² + q(u³) - (⅓p)³ = 0
u³ = -½q±√{(½q)² + (⅓p)³}
가 얻어지며 첫 번째식으로부터 u³과 v³은 서로 켤레근의 관계에 있음을 알 수 있습니다.
따라서
u³ = -½q + √{(½q)² + (⅓p)³}
v³ = -½q - √{(½q)² + (⅓p)³}
이 되며 위 식의 세제곱근을 더해주면 z = u + v였으므로 z를 구할 수 있고 z = x + b/(3a)였으므로 원래 3차방정식의 근 x까지 구할 수 있습니다.

이 때 문제가 되는 것이 바로 세제곱근 안의 허수입니다.
바로 p = -15, q = -4인 경우죠. 대입하면 근호 안이 4 - 125 = -121이 되어 u³ = 2 + 11i, v³ = 2 - 11i가 되는 어처구니 없는 일이 일어납니다(생각보다 이런 예는 꽤 흔합니다). 이 경우 z = 4임을 알고 있으므로 u = 2 + ai, v = 2 - ai로 설정하여 a = 1로 구할 수 있지만 실수해를 모르는 경우

(a±bi)³ = a³ - 3ab²±(3a²b - b³)i = 2±11i
에서 실수부와 허수부를 구해주는 불편한 절차를 거쳐야하는데 이 과정에서 또다른 3차방정식이 얻어지는 관계로 '환원 불능'이라는 표현을 씁니다.