예비고1의수학에대한궁금증

어떤 a>0 가 있을 때 제곱하여 a가 되는 두 수가 존재합니다.

하나는 양수, 하나는 음수겠죠. 이 때 양수를 택하여 루트a 라고 정의합니다.

따라서 루트a (a≠0)는 항상 양수가 되는 것이지요.

이제 a>0, b>0 에 대하여 (√a)*(√b)=√(ab) 임을 보이겠습니다.

√a=x, √b=y 로 놓으면 정의에 따라 x>0, y>0 이고 a=x^2, b=y^2 입니다.

ab=x^2*y^2

자연수 n에 대하여 a^n 은 a를 n번 곱하는 것으로 정의합니다. 즉, a^n=a*a*a*...*a (n개)

따라서 ab=x^2*y^2=x*x*y*y=x*y*x*y=(xy)*(xy)=(xy)^2

xy 는 제곱하여 ab 가 되는 양수이므로 xy=√(ab)

∴ xy=(√a)*(√b)=√(ab)

두 번째 질문인 √n (n≥2) 의 존재성에 대한 문제를 해결하기 위해 함수 f(x)=x^2-n (n≥2) 를 놓읍시다.

f(0)=-n<0 이고 f(n)=n(n-1)>0 이므로 중간값의 정리에 의해 구간 (0,n) 에서 근이 존재합니다.

즉, x^2=n 을 만족하는 양수 x가 존재합니다.

여기서 n을 실수로 확장하여도 아무 문제 없습니다.

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√n 이 아니라 n제곱근a 를 말하신 거였군요.

마찬가지로 함수 f(x)=x^n-a 를 놓읍시다. (a는 0보다 큰 실수, n은 자연수)

f(0)=-a<0 이고 f(a+1)=(a+1)^n-a>0 이므로 중간값의 정리에 의해 구간 (0,a+1) 에서 근이 존재합니다.

즉, x^n=a 을 만족하는 양수 x가 존재합니다.

또 곱셈에 대한 교환이 왜 성립하는 지 질문하셨는데 이는 공리로 증명없이 받아들입니다.

증명은 아니지만 이해를 돕기 위해 밑변의 길이가 a, 높이가 b인 직사각형을 생각해봅시다.

이 직사각형의 넓이는 (밑변의 길이)*(높이)=ab 입니다.

그런데 직사각형을 돌려 밑변의 길이가 b, 높이가 a가 되도록 만들 수 있습니다.

이 때의 넓이는 ba 가 되며 넓이는 변하지 않으므로 ab=ba 가 되는 것입니다.

궁금하신 거 있으면 댓글로 남겨주세요.