대학미적분학 다변수함수 최대,최솟값 문제

연속함수의 최대,최소는 임계점과 경계선상에서 가질수 있으므로

 

fx=fy=0 을 만족하는 임계점이 영역내에 있는지 확인하고 경계선상에서의 최대,최소와 비교

 

a) fx=-3, fy=-2 이므로 임계점 X

 

경계는 삼각형의 3변이며 각 변은 y=x+1 (0<=x<=1) , y=-2x+4 (1<=x<=2) , y=-1/2 x + 1 (0<=x<=2)

 

이 변에 대해 f의 최대최소 구하는 방법은 3변이 동일하므로 하나만 해보면

 

y=x+1 상에서 f = 12 -3x - 2(x+1) = 11 -5x (0<=x<=1)

 

단순 일차함수(구간이있는)이므로 최대값은 11, 최소값은 6

 

나머지 2변에 대해서도 동일한 원리.

 

b) fx=6x =0 , fy=4y-4=0 이므로 임계점은 (0,1)  이 점은 영역내 점이므로 조건만족

 

경계는 y=x^2 (-2<=x<=2) 와 y=4 (-2<=x<=2) 인데 계산하는 방법은 a)와 동일

 

y=4 대입할 경우는 구간있는 x에 대한 이차함수

 

y=x^2 대입할 경우도 x의 4차함수이므로 도함수를 이용하면 해결가능

 

대입시 f = 2x^4  -x^2 (-2<=x<=2) 이건 우함수이므로 0<=x<=2 에서의 최대,최소를 구하여도 무방.

 

df/dx = 8x^3 - 2x = 2x(4x^2-1) =0 이므로 임계점은 x=0, 1/2

 

그러므로 x=0 , 1/2, x=2 중 최대,최소가 존재

 

앞에서 구한 임계점과 y=4 와 y=x^2 상에서의 최대,최소를 비교하여 정리.

 

c) 임계점은 앞과 똑같으니 과정생략하고 (임계점은 원점이고 영역내부존재)

 

경계를 보면 x=2 (-1<=y<=1) x=-2 (-1<=y<=1) , y=1 (-2<=x<=2 ) , y=-1 (-2<=x<=2)

 

앞의 두 경계(x=-2) 에서는 f가 y의 일차함수 뒤의 두 경계에서는 f가 x의 이차함수.

 

전부 다 구해서 비교

 

d) 임계점은 x+y=0 을 만족하는 점들로 이 선상의 점들은 f(x,y)=0 을 만족하므로 임계점에서의 f=0

 

경계선은 x범위를 기준으로 나눌시 상반원과 하반원으로 분리가능

 

(즉 원방정식을 y=~~의 양함수로 표현시 y=g(x) 와 y=-g(x)로 표현됨)

 

그런데 이 경우 양함수로 표현해서 대입하면 근호때문에 계산이 복잡하므로

 

직교좌표대신 극좌표를 이용.

 

주어진 함수를 극좌표료 표현하면 f(r,t) = r^2 + r^2 sin(2t) = r^2 (1+sin2t) 이며

 

이때 경계선상에서 r^2=8 , 0<=t<=2파이 이므로 결국 f(1,t) = 8(1+sin2t)

 

이것은 sin2t = 1 일때 최대 sin2t=-1 일때 최소이며 최대값 8, 최소값-8

 

(조건식을 만족하는 t는 존재하므로 t는 굳이 구할필요 없음)

 

 

e) 편미분하기 위해 로그미분법 사용

 

ln f = ln4 + lnx + lny - ln(x^2+1) - ln(y^2+1) 양변 x로 음함수편미분

 

fx/ f = 1/x  - 2x/(x^2+1) = (1-x^2)/x(x^2+1) -> fx = (1-x^2)/x(x^2+1) * f

 

위의 로그식은 x,y에 대해 대칭이므로 fy도 fx와 동일한 형태 즉 fy = (1-y^2)/y(y^2+1) * f

 

fx=fy=0 이 되는점은 f=0 인 점 or (1,1) 여기서 f=0 인 점은 R의 경계이므로 f(1,1)만 구해도 무방.

 

경계는 c와 비슷하게 x=0 (0<y<=1) , x=1 (0<=y<=1) , y=0 (0<=x<=1) , y=1(0<=x<=1)

 

의 4선분으로 구성되며 여기서 x=0, y=0 은 위에서 말한 f=0 이 되는 선이므로 이때 f=0

 

x=1 선에서 f = 2y/(y^2+1) (0<=y<=1) 이므로 도함수를 이용하여 최대,최소 결정

 

df/dy = 2(1-y^2) / [y^2+1]^2  에서 임계점은 y=1

 

그러므로 y=0, y=1 에서 최대,최소를 가지며 최소값은 0, 최대값은 1

 

y=1 선은 x=1선일때와 마찬가지(식과 범위가 x,y가 대칭적)

 

그러므로 최대값은 1, 최소값은 0