상수계수 동차미분방정식과 오일러-코시 방정식

계수가 상수인 n계 선형미분방정식 y(n)+an−1y(n−1)+⋯+a1y′+a0y=0의 해를 2계 상수계수 미분방정식의 경우처럼 해가 y=eλx라고 하자. 그러면 특성방정식 λn+an−1λn−1+c⋯+a1λ+a0=0을 얻는다. 이 특성방정식이 서로 다른 n개의 실근 λ1,...,λn을 가지면 y1=eλ1x,...,yn=eλnx는 해가 되고 일차독립이므로 일반해는 y=c1eλ1x+⋯+cneλnx이다. 실중근을 갖는 경우, λ가 특성방정식의 m(<n)중근이면, m개의 일차독립인 해는 y1=eλx, y2=xeλx,...,ym=xmeλx이다. 이는 계수축소법을 이용하여 구한 것이다.

특성방정식의 실근이 일부는 서로 다른 근이고, 나머지는 중근일 경우, 각각에 대하여 위의 방법으로 일차독립인 해를 구하여 일차결합으로 나타낼 수 있다.

미분방정식 y(3)−6y″+11y′−6y=0의 특성방정식은 λ3−6λ2+11λ−6=(λ−1)(λ−2)(λ−3)=0이므로 λ=1, λ=2, λ=3이다. 따라서 ex, e2x, e3x가 미분방정식의 해이고 일반해는 y=c1ex+c2e2x+c3e3x이다.

미분방정식 y(5)−3y(4)+3y(3)−y″=0의 특성방정식은 λ5−3λ4+3λ3−λ2=λ2(λ−1)3=0이므로 해는 이중근 λ=0과 삼중근 λ=1이다. 각 경우에 대한 일차독립인 해는 c(상수), x, ex, xex, x2ex이고 따라서 일반해는 y=c1+c2x+c3ex+c4xex+c5x2ex이다.

복소중근의 경우, 계수가 실수이므로 λ=α+βi(i=−1)가 특성방정식의 이중근이면 λ¯=α−βi도 이중근이다. 이때 일차독립인 해들은 eαxsin⁡βx, eαxcos⁡βx, xeαxsin⁡βx, xeαxcos⁡βx이고 계수축소법으로 얻어진 해들이다.

예를들어 미분방정식 y(4)−4y(3)+8y″−8y′+4y=0의 특성방정식은 λ4−4λ3+8λ2−8λ+4=(λ2−2λ+2)2=0이고 이중근 λ=1+i와 λ=1−i를 갖는다. 따라서 일차독립인 해는 excos⁡x, exsin⁡x, xexcos⁡x, xexsin⁡x이고 일반해는 y=c1exsin⁡x+c2excos⁡x+c3xexsin⁡x+c4excos⁡x이다.

n계 선형미분방정식 xny(n)+an−1x(n−1)y(n−1)+⋯+a1xy′+a0y=0을 n계 오일러-코시 방정식이라고 한다. n=2인 경우의 오일러-코시 방정식 x2y″+axy′+by=0(x>0)의 해를 구하자. x=et, y(x)=w(t)라 하자. 연쇄법칙으로부터 dydx=dwdtdtdx=1xdwdt, d2ydx2=1x2d2wdt2−1x2dwdt이므로 이를 x2y″+axy′+by=0에 대입하면 x2y″+axy′+by=w″−w′+aw′+cw=w″+(a−1)w′+bw=0을 얻는다. 이 미분방정식은 상수계수 미분방정식의 풀이방법대로 풀은 다음 t=ln⁡x로 치환하면 y(x)를 구할 수 있다.

변환된 미분방정식 w″+(a−1)w′+bw=0의 변수가 t임에 유의한다. y=xm을 미분방정식 x2y″+axy′+by=0에 대입하면 y′=mxm−1, y″=m(m−1)xm−2이므로 {m(m−1)+am+b}xm=0이고 정리하면 m2+(a−1)m+b=0이다. 상수계수 2계 동차미분방정식의 경우와 비슷하게 특성방정식 m2+(a−1)m+b=0의 근의 모양에 따라 해가 결정된다.

특성방정식의 근	일반해
서로다른 두 실근 m1, m2	y=c1xm1+c2xm2
이중근 m	y=(c1+c2ln⁡x)xm
켤레복소수근 m=α±βi(i=−1)	y=xα{c1sin⁡(βln⁡x)+c2cos⁡(βln⁡x)}

이중근의 경우는 계수축소법으로, 켤레복소수근의 경우는 오일러공식 eix=cos⁡x+isin⁡x로부터 성립한다. 오일러-코시 방정식 x2y″+2xy′−6y=0, x2y″−3xy′+4y=0, x2y″+3xy′+3y=0의 일반해는 각각 y=c1x2+c2x3, y=(c1+c2ln⁡x)x2, y=x−1{c1sin⁡(2ln⁡x)+c2cos⁡(2ln⁡x)}이다.

고계 오일러-코시 방정식에서도 비슷한 방법을 적용할 수 있다. 예를들어 x3y(3)+x2y(2)−2xy′+2y=0에 y=xm을 대입하여 특성방정식 m3−2m2−m+2=(m+1)(m−1)(m−2)=0을 얻고 이로부터 y=x−1, y=x, y=x2가 해임을 알 수 있다. 따라서 일반해는 y=c1x−1+c2x+c3x2이다. 

출처: https://mathphysics.tistory.com/221 [지식저장고(Knowledge Storage)]