비제차 오일러 코시 방정식 질문드립니다.

코시-오일러는 x=e^t 로 치환시  t에 대한 상계 미방이 됩니다.

 

상계 제차미방의 일반해 형태는 y=e^(mt) 이므로 t=lnx 를 집어넣으면

 

코시-오일러의 해 형태는 y=x^m 이 되죠. ( 해의 정의구간은 (0,무한대) 나 (-무한대, 0)으로 잡습니다.)

 

치환을 통해 상계로 만든뒤에 비제차상계미방을 푼다음 역치환해줘도 되고

 

그냥 y=x^m 으로 놓고 풀어도 됩니다.(당연한 말이지만 여기서 특수해는 매개변수법으로 구해야겠죠.)

 

여기선 상계로 변환해서 풀어보면

 

 

이걸 식에 대입합니다. x=e^t 도 같이 대입하면

 

 

상계미방이 됬죠.  이제 t에 대해 해를 구합니다.

 

제차의 특성방정식 m^3 -5m^2 +10m -6 =0 -> (m-1)(m^2-4m+6)=0 이므로

 

m=1 , 2+루트2 i , 2-루트2i 이므로

 

yc = c1 e^t  + c2 e^2t cos[루트2 t ] + c3 e^2t sin[루트2 t] 입니다.

 

특수해는 상계니까 미정계수법씁니다.(미정계수법쓸수있는 형태)

 

f(t)= te^4t 이므로 yp = (At+B)e^4t = Ate^4t + Be^4t 로 잡으면 ( 이것은 yc의 일반해 3개와 독립)

 

yp' = 4A te^4t  + (A+4B)e^4t

 

yp'' = 16A te^4t + (8A+16B)e^4t 

 

yp'''=64A te^4t + (48A + 64B)e^4t 이므로 대입합니다.

 

이제 해를 정리한뒤에 t=lnx 를 대입해줍니다.

 

 

그런데 이렇게 맨날 치환하는것보다

 

오일러-코시의 특성방정식과 매개변수법써서 치환하지 않고 푸는게 더 낫다고 보입니다.

 

(위에서 보듯 연쇄법칙 이용해서 치환할떄 실수할수 있으므로)