타원의 둘레는 왜 그냥 적분이 안 되나요?

1) 타원의 길이와 타원적분

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타원의 둘레의 길이를 구하는 것은 타원의 면적을 구하는 것과는 다른 차원의 문제입니다.

타원의 면적이야 원의 면적에서 축의 길이의 비를 적당히 곱해서 곧바로 유도하거나 적분을 통해 손쉽게 구할 수 있지만, 타원의 둘레의 길이는 그렇지 않습니다.

아마도 적분식을 구했다고 하시니 아래와 같이 적분하셨을 것이라 생각합니다.

(2a, 2b는 장축과 단축의 길이)

위의 과정에서 마지막 적분값 4bE(e)을 초등함수를 통해 표현할 수 없어서 제2종 타원정적분을 정의하게 됩니다.

제2종 타원정적분 E(k) (complete elliptic integral of the second kind) 는 다음 값으로 '정의'됩니다.

(제1,3종 같은 다른 종류의 타원적분에 관심이 있으시면 아래링크를 클릭해보세요)

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral

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이 때 위의 적분값은 일반적으로 유한개의 초등함수를 통한 닫힌 적분값의 형태로 나타낼 수 없으며 수치해석을 통해서 근사적인 값을 구하게 됩니다. 보통 E(e)의 값을 구하기 위해서는 Simpson 공식을 이용하며, 이를 통해 근삿값을 구하려고 한다면 아래의 식을 이용하면 됩니다.

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2) 부정적분을 초등함수들로 나타낼 수 없는 함수

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꼴의 부정적분을 유한개의 초등함수들로서 나타내는 것이 불가능함을 증명하기 위해서는 고등학교 수준으로는 힘듭니다. 일단 미분체라는 개념을 도입해야 하는데, '체'라는 용어부터 고등학교에서는 다루지 않는 개념이기 때문이지요. 사실 '체(Field)'라는 개념은 인터넷 검색을 통해서 금방 습득할 수 있는 개념입니다. 예전 고등학교생들(7차 교육과정 이전)은 고1때 항등원, 역원, 닫혀있다, 연산 등의 용어와 개념을 배웠는데 사실 이것이 체의 개념과 연결되는 개념이죠.

아무튼 체를 인터넷 검색을 통해서 배우셨다면 그 다음 문제는 미분체 입니다.

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미분체는 간단하게는 함수들이 있는 집합에서 기본적인 미분연산이 정의된 체라고 생각하시면 됩니다.

예를들어 복소수 계수의 유리식들의 집합 C(x)는 사칙연산과 미분연산에 닫혀있는 미분체입니다.

이제 이 단순한 미분체에 lnx 나 e^x 등과 같은 로그함수나, 지수함수를 추가한 초등 미분확대체를 생각해볼 수 있습니다.

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확대체라는 개념은 수학과의 3학년 과정인 '대수학'에서 나오는 개념으로서 간단하게는 기존의 체에서 어떤 원소를 추가한 체라고 생각하면 됩니다. 예를 들어 실수체(실수도 일종의 체라고 생각할 수 있습니다.)에서 i라는 원소를 추가한 확대체 R(i)는 복소수체 C가 되는 것이죠.

아무튼 이러한 초등 미분확대체에 대한 중요한 정리가 있습니다.

위 정리의 의해 아래와 같은 중요한 따름 정리를 얻습니다.

위 따름정리에 의해서 의 부정적분을 유한개의 초등함수로 나타낼 수 있다면

f(x)=1, g(x)=x^2 로 둘 때, 1=h'(x) + h(x)*(2x) 를 만족하는 유리식 h(x)가 존재해야 합니다.

위 식을 만족하는 h(x)를 구하면 h(x)는 유리식이 아닌 의 대한 식으로 나타내어집니다.

즉, 이는 모순이므로 의 부정적분은 유한개의 초등함수로 나타낼 수 없음을 알 수 있습니다. ㅁ

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각각의 정리의 증명과 같은 자세한 내용이 추후에 궁금하시면 아래 링크를 참고하세요.

http://math.stanford.edu/~conrad/papers/elemint.pdf

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아무튼 위의 논리에서 흥미로운 점은 부정적분 가능성에 대한 문제가 미분방정식을 푸는 것과 연결되어 있다는 것입니다.

미분방정식도 수학과 3학년 과정에서 배우는데 비슷한 시기에 배우는 대수학과 개념이 연결되어 다양한 문제를 해결할 수 있음을 깨닫는 것은 흥미롭습니다.

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고등학생들이 풀 수 있는 가장 간단한 미분방정식은 f'(x)=kf(x) 같은 것일 텐데 이는 실생활에서 온도의 변화를 나타내 주는 식입니다. 예를 들어 뜨거운 커피의 온도를 f(x)라고 하면 온도의 변화량 f'(x)는 현재의 커피 온도 f(x)와 비례할 것입니다. f'(x) / f(x) = k 이므로 lnf(x) 의 미분이 f'(x) / f(x)임을 이용하여 f(x)를 구하면 f(x)=e^kx + c 꼴로 나타낼 수 있습니다. 실제로 실험을 해보면 꽤나 정밀한 수치도 얻을 수 있는데 ....잡설이 길었네요...즐거운 수학되시길!

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참고로 e^x^2과 같이 부정적분을 초등함수들로 나타낼 수 없는 함수들의 예들은 아래 링크를 참고하세요.

각각의 함수들을 살펴보는 것도 흥미로운 과정일 것입니다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Nonelementary_integral

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타원의 둘레를 왜 구할 수 없죠..?

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