멱급수 해 구하기

이 미분방정식의 경우 i) 적분 인자를 이용하여 해를 찾을 수도 있고, ii) 멱급수를 이용하여 해를 찾을 수도 있습니다. 두 가지 풀이 모두 말씀드리겠습니다.

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i) 적분 인자를 이용한 풀이

dy/dx - 2y = x는 dy + (-x - 2y)dx ··· (1.1)와 동치입니다. 이때 식 (1.1)을 전미분으로 만들어주는 적분 인자를 g(x, y)라 하면 gdy + (-x - 2y)gdx = 0 ··· (1.2) ⇒ ∂g/∂x = (∂/∂y)[(-x - 2y)g] = -2g + (-x - 2y)(∂g/∂y) ··· (1.3)가 성립합니다. 여기서 ∂g/∂y = 0이라 하면 ∂g/∂x = dg/dx이므로 식 (1.3)은 dg/dx = -2g ⇔ dg/g = -2dx ⇒ ln|g(x)| = -2x + C ··· (1.4)로 환원됩니다. 식 (1.4)를 만족하는 적분 인자 g(x)를 적당히 선택하면 g(x) = exp(-2x) ··· (1.5)로 잡을 수 있고 이를 식 (1.2)에 대입하면 exp(-2x)dy + (-x - 2y)exp(-2x)dx = 0 ··· (1.6)이 성립합니다. 식 (1.6)은 전미분이므로 이를 dψ라 하면 dψ = exp(-2x)dy + (-x - 2y)exp(-2x)dx = (∂ψ/∂y)dy + (∂ψ/∂x)dx ··· (1.7)이 성립합니다. 따라서 ψ(x, y) = ∫(-x - 2y)exp(-2x)dx = -∫x·exp(-2x)dx - 2y∫exp(-2x)dx = x·exp(-2x)/2 - ∫exp(-2x)dx/2 + y·exp(-2x) = (x/2 + y)exp(-2x) + exp(-2x)/4 ··· (1.8)이 성립합니다. 이때 dψ = 0일 때 ψ는 상수이므로 식 (1.8)과 초기 조건 y(0) = 0으로부터 (x/2 + y)exp(-2x) + exp(-2x)/4 = (0/2 + 0)exp(-2·0) + exp(-2·0)/4 = 1/4 ⇔ y = [exp(2x) - 1]/4 - x/2 ··· (1.9)가 성립합니다.

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ii) 멱급수를 이용한 풀이

다음의 멱급수를 dy/dx - 2y = x의 해라 하겠습니다.

여기서 y(0) = 0이라 했으므로 식 (2.1)로부터 a₀ = 0입니다. 그러면 a₀ = 0과 식 (2.1)로부터 다음이 성립합니다.

여기서 식 (2.3)이 x에 대한 항등식이 되려면 모든 항의 계수가 0이 되어야 합니다. 따라서 일반적으로 다음이 성립합니다.

이때 식 (2.4)로부터 수열 {aₙ}의 일반항이 다음과 같이 계산됨을 알 수 있습니다.

따라서 a₀ = a₁ = 0과 식 (2.5)를 식 (2.1)에 대입하면 다음을 얻을 수 있습니다.

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