수학 1 상용로그 관련 질문요!

일의 자리수를 구하는 것입니다.

132432342857946 과 2394810을 곱하면 일의 자리수가 뭐가 나올 것이라 생각되십니까? 0이니다.

123543291과 210943895702를 곱하면 일의 자리수는? 2입니다.

어떻게 그것을 알까요? 양쪽의 일의 자리수를 곱해버리고 그것의 일의 자리수를 보면 됩니다.

 

즉, 두 수의 곱의 일의 자리수를 알고 싶을때는

곱하는 두 수의 일의 자리수만 알아도 됩니다.

 

또한 어떤 수의 일의 자리수가 1이라면 이 수는 몇승을 해도 1ⁿ = 1로 그대로 1이 됩니다.

따라서 어떤 수의 큰 제곱값의 일의 자리수를 구한다면

일의 자리수가 1이 되는 값의 곱으로 분해할 수 있는 만큼 분해하면

간단히 구할 수 있습니다.

 

즉, 7^17의 일의 자리를 구하는데 7^4 의 일의 자리수가 1인 것을 안다면

7^17 = 7^(4+4+4+4+1) = (7^4)*(7^4)*(7^4)*(7^4)*(7^1) = ...1 * ...1 * ...1 * ...1 * 7이므로

일의 자리수들끼리만 곱하면 7이 되는 것입니다.

 

자.. 그럼 풀이에서 위에서 처럼 풀어서 쓸 것인가..

수학자들이 그러기에는 폼이 살지 않죠..

 

우선 왜 곱한 수의 일의 자리는 일의 자리수의 곱의 일의 자리인가..

일의 자리수는 10으로 나눈 나머지입니다.

어떤 두수의 일의 자리수가 a,b라고 하면

각 수에서 a,b를 빼면 10의 배수가 되므로 10으로 나눈 몫은 정수가 됩니다.

앞에서도 보았듯이 이 값이 얼마인지는 중요하지 않습니다.

따라서 정수라는 표시만을 위해 m,n으로 나타냅니다.

그러면 두 수는 (10m+a)(10n+b)가 됩니다.

전개하면 100mn + 10an + 10bm + ab가 됩니다.

이 수의 일의 자리수는? 10으로 나눈 나머지입니다.

10(10mn + an + bm) + ab가 됩니다. 괄호안 10mn + an + bm이 정수이므로

여기에 10을 곱한 것은 10으로 나누어 떨어집니다. 따라서 ab를 10으로 나눈 나머지가 일의 자리가 됩니다.

 

7^4를 10m+1로 나타낸 것은 위 과정에서 따온 것입니다.

 

7^4=2401 이므로

7^4=10m+1      (m은 자연수)..............즉, 일의 자리수가 1이다 (라는 의미입니다.)

로 놓을 수 있다. 따라서

7^17=7 X (7^4)^4 = 7(10m+1)^4

       =7(10n+1)      (n은 자연수).................(10m+1)⁴은 앞은 어쨋든 일의 자리수는 1이다. (라는 의미입니다.)

로 놓을 수 있다.

 

구체적으로 m = 240, n은 m에 대한 4차식이 되겠지만..

중요한 것은 m,n의 구체적인 값이 아니라 이와 같은 형태로 나타내고도 1이 남는다.. 라는 사실에 있으므로

정수라는 사실만 남도록 문자로 대체한 것입니다.

 

7^4을 이용한 것은 위에서도 말했지만

일의 자리수가 1이 되는 것을 이용하기 위해서입니다.

 

참고로 이와 같이 aⁿ의 일의 자리를 찾는 것은

n의 값을 키워나가면 일의 자리수가 순환하는 경우가 많습니다.

0~9까지 n값이 커질때 일의 자리수를 적어보면

0, 0, ... (항상 0입니다.)

1, 1, .. (항상 1입니다.)

2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6... (2,4,8,6이 순환합니다.)

3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1... (3,9,7,1이 순환합니다.)

4, 6, 4, 6, ... (4,6이 순환합니다.)

5, 5, ... (항상 5입니다.)

6, 6, ... (항상 6입니다.)

7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1.. (7,9,3,1이 순환합니다.)

8, 4, 2, 6, 8, 4, 2, 6.. (8,4,2,6이 순환합니다.)

9, 1, 9, 1, ... (9, 1이 순환합니다.)

 

이와 같이 항상 같거나, 2, 4개의 숫자 단위로 순환합니다.

이 사실을 알고 있다면 문제 풀이시 막힐때 우선 몇제곱까지만 해 보면 그 규칙을 찾아 풀 수 있을 것입니다.