대각선 논법에 대하여

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유튜버 'ray수학'님께서 올리신 영상이 하나 있는데

(링크 참조 https://youtu.be/Kbz1bSVHBb0?t=240 )

(제가 하고싶은 질문은 맨 아래 문단에 적어놓았으며

아래 지문은 대략 윗 링크를 타고 들어가시면 보실 수 있는 

2분정도 되는 분량의 영상을 요약해놓은 글입니다

가능하시면 영상을 보시는 것을 추천드립니다)

f(x)=tanㅠ(x-1/2)이란 함수가 주어졌을 때 정의역을 (0 ,1)이라 하면

주기가 1 x축으로 1/2만큼 평행이동 했기에

f(x)는 정의역은 (0,1) 치역은 실수 전체인 일대일 대응 함수가 됩니다

여기서 열린구간 (0,1)= I 를 셀 수 있다고 가정하고

모든 자연수에서 I로 가는 일대일 대응 함수 f : N -> I 가 있다고 가정한다면

열린구간 (0, 1)에서의 모든 수는 유리수 무리수 상관 없이

1/4같은 유한소수는 0.25=0.249999....으로

1/3같은 순환하는 무한소수는 0.33333...으로

순환하지 않는 무한소수도 마찬가지로

0.x(1)x(2)x(3)... 형태인 소수 꼴로 나타낼 수 있다 하였습니다

그리고 여기에 일대일 대응을 시켜

f(1) = 0.x(11)x(12)x(13)....

f(2) = 0.x(21)x(22)x(23)....
f(3) = 0.x(31)x(32)x(33)....

.

.

f(n) =0.x(n1)x(n2)x(n3)...x(nn)...

라고 나타내고

위에 밑줄친 '아래첨자가 서로 같은 수'가 1이면 2로

1이 아니라면 1로 대응시켜

b(n) = 2  [ x(nn) ==1 ]

        1  [ x(nn) =/=1 ]

새로운 수

b = 0.b(1)b(2)b(3)...b(n)...을 만든다 하였습니다

여기서 b(n)의 배열에 따라 b는 유리수도 무리수도 될 수 있다 하여

b는 무조건 실수이기에 b는 I에는 포함되지만 N에는 포함이 되지 않아

즉 공역에는 있지만 치역에는 존재하지 않아 모순이 발생하기 때문에

결론적으로는 I는 셀 수 없는 집합이 되어

이와 농도가 같은 R도 셀 수 없다 합니다

그래서 질문은 왜 b가 I에는 포함되지만 N에는 포함되어있지 않아

모순이 발생하는 것인지 입니다

그리고 이와 다른 방법에서는 위에서 밑줄친 아래첨자가 같은 숫자들을

각자 하나씩 원래의 소수점 자리에 대응시켜 새로운 숫자 c를 만든다 하고

모든 소수점 자릿수에 1을 더하여 (9+1은 다음 자릿수에 1을 더하지 않고 0으로 표기)

( 대략 c+0.1111.... 이라 표현하면 되려나요..?)

또 다른 수 d를 만든다 하였을 때

이 수 d는 기존 집합의 다른 숫자들과는 달라 무한히 기존 집합에 있던 숫자와 다른 숫자를 만들어 낼 수 있다 하였습니다

여기서 기존의 실수 집합에서 새로 만들어진 수 d와 같은 수가 

존재하지 않는다는 부분이 이해되지 않습니다

같은 수가 있을 수도 있는게 아닌가요?

하나 더 여쭙자면 위의 방법이 있었다면 왜 영상에서는 x(nn)의 값에 따라

새로운 수 b를 정의하는지에 대한 의문입니다

제가 수학을 잘하지는 못하는 이제 막 고3이 된 학생이라 

어느정도 이해할 수 있을만한 수준의 답변을 부탁드립니다... ㅎㅎ