대각선 논법, 실수가 countable 한지 증명하는 부분 질문
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https://namu.wiki/w/%EB%8C%80%EA%B0%81%EC%84%A0%20%EB%85%BC%EB%B2%95
나무위키 "대각선 논법" 페이지 발췌
가정에 따라 모든 0과 1 사이의 실수들이 �로 인해 하나의 양의 정수에 빠짐 없이 대응된다고 했다. 즉, 0과 1 사이에 어떤 실수를 고르든 어떤 �(�) 중 하나와 같아야 한다. 하지만 어떠한 �(�)과도 같지 않은 0과 1 사이의 어떤 실수를 제시할 수 있다.
0과 1 사이의 다음과 같은 실수 �를 생각할 수 있다. �의 소수 �번째 자리의 수 ��는, ���가 0이거나 9보다 작은 자연수일 때는 ���+1이고, 9일 때는 0이다. 즉 �=0.�1�2�3⋯라고 하자. 예를 들어 ���이 다음과 같다면
�(1)=0. 3 �12�13�14�15⋯
�(2)=0.�21 1 �23�24�25⋯
�(3)=0.�31�32 9 �34�35⋯
�(4)=0.�41�42�43 8 �45⋯
�(5)=0.�51�52�53�54 5 ⋯
⋯,
즉 �11=3,�22=1,�33=9,�44=8,�55=5,⋯이면, �는 정의에 따라 다음과 같다.
�=0.42096⋯
그렇다면 모든 양의 정수 �에 대하여 �(�)과 �의 �번째 자리 수는 다르게 되고, 따라서 �는 모든 �(�)과 적어도 한 자리에서 다르다. 위의 소수 표현에 대한 설명으로부터 �가 모든 �(�)와 다르다는 것이 따라 나오고 이는 위에 강조 처리한 문장 바로 전의 말과 모순이다. 결국 처음에 했던 가정은 거짓이 된다. 즉, �+과 � 간에는 일대일 대응이 존재하지 않는다는 것이다. 반면 �+은 �의 부분집합이므로 �의 크기는 �+의 크기보다 크거나 같다. 따라서 �의 크기는 �+보다 크다.
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위는 대각선 논법에 대해 찾아보다가 나무위키에서 정리한 자료를 발췌한 부분입니다.
질문할 내용은 "대각선의 각 원소의 값을 바꿔 새로 만든 수 x = 0.b1b2b3b4... 또한 기존의 f(n) 의 일부가 아닌가?" 입니다.
애초에 f(n)이 모든 실수에 대해 나열한 것이라면, b(m) {m 은 임의의 자연수} 또한 f(n)의 무한한 가짓수 중 일부이지 않나요?
어째서 대각선 원소만 하나씩 바꿨다고 해서 모든 실수에 대해 일치하는 게 없는, 포함되지 않는 새로운 실수라고 하는 건지 이해가 안되네요.
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나무위키 "대각선 논법" 페이지 발췌
0과 1 사이의 다음과 같은 실수 �를 생각할 수 있다. �의 소수 �번째 자리의 수 ��는, ���가 0이거나 9보다 작은 자연수일 때는 ���+1이고, 9일 때는 0이다. 즉 �=0.�1�2�3⋯라고 하자. 예를 들어 ���이 다음과 같다면
�(1)=0. 3 �12�13�14�15⋯
�(2)=0.�21 1 �23�24�25⋯
�(3)=0.�31�32 9 �34�35⋯
�(4)=0.�41�42�43 8 �45⋯
�(5)=0.�51�52�53�54 5 ⋯
⋯,
즉 �11=3,�22=1,�33=9,�44=8,�55=5,⋯이면, �는 정의에 따라 다음과 같다.
�=0.42096⋯
그렇다면 모든 양의 정수 �에 대하여 �(�)과 �의 �번째 자리 수는 다르게 되고, 따라서 �는 모든 �(�)과 적어도 한 자리에서 다르다. 위의 소수 표현에 대한 설명으로부터 �가 모든 �(�)와 다르다는 것이 따라 나오고 이는 위에 강조 처리한 문장 바로 전의 말과 모순이다. 결국 처음에 했던 가정은 거짓이 된다. 즉, �+과 � 간에는 일대일 대응이 존재하지 않는다는 것이다. 반면 �+은 �의 부분집합이므로 �의 크기는 �+의 크기보다 크거나 같다. 따라서 �의 크기는 �+보다 크다.
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위는 대각선 논법에 대해 찾아보다가 나무위키에서 정리한 자료를 발췌한 부분입니다.
질문할 내용은 "대각선의 각 원소의 값을 바꿔 새로 만든 수 x = 0.b1b2b3b4... 또한 기존의 f(n) 의 일부가 아닌가?" 입니다.
애초에 f(n)이 모든 실수에 대해 나열한 것이라면, b(m) {m 은 임의의 자연수} 또한 f(n)의 무한한 가짓수 중 일부이지 않나요?
어째서 대각선 원소만 하나씩 바꿨다고 해서 모든 실수에 대해 일치하는 게 없는, 포함되지 않는 새로운 실수라고 하는 건지 이해가 안되네요.
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