확률론

무작위 사건의 결과는 그 사건이 발생하기 전에는 판정할 수 없는 여러 가능한 결과 중 어느 하나가 된다.

실제 결과는 우연히 결정된다. 무작위 사건의 가능한 모든 결과를 모아놓은 집합을 표본공간(標本空間 sample space)이라 하고 이 공간의 각 결과에 확률을 할당하는데, 이 확률이란 그 결과가 단일 경우에 일어날 가능성을 나타내는 수이다. 확률은 음(陰)이 아니고 총합은 1이다. 무작위 실험의 예로 동전던지기를 들어보면, 표본공간은 두 결과, 즉 앞면과 뒷면을 포함하는데 이들은 같은 가능성이 있음직하므로 각각 같은 확률 1/2을 갖는다.

가능성의 게임(Game of chance)이 최초로 연구된 무작위 실험이다.

17세기 프랑스의 수학자 블레즈 파스칼과 피에르 드 페르마는 뛰어난 도박꾼들의 요구에 응해 특정 게임을 수학적으로 연구하기 시작했다. 전형적인 문제는 도박꾼의 파산(Gambler's ruin)에 관한 것이었다. 두 선수 갑과 을이 동전을 던진다. 앞면이면 을이 갑에게 1달러를 준다. 뒷면이면 갑이 을에게 1달러를 준다. 처음에 갑은 a원, 을은 b원를 가졌다고 하자. 두 사람 중 누군가가 파산한다고 할 때, 갑이 파산할 확률은 얼마인가? 확률은 을이 처음에 가진 소유액의 전체액수에 대한 비율인 b/(a＋b)이다.

이 게임과 관련된 다른 문제들로는, 한 선수가 파산하기까지 얼마 동안 게임이 지속될까? 만일 동전이 앞면이나 뒷면 중 어느 한 쪽으로 편중된다면 어떤 변화가 있을까? 하는 것 등이다. 초기 이론가들은 카드, 주사위, 룰렛 바퀴 등으로 하는 게임을 조사했다.

18, 19세기에 과학이 발달함에 따라 어떤 생물·물리·사회 현상과 가능성 게임 사이에 유사함이 나타났다.

예를 들어 신생아의 성별은 동전던지기의 계열과 비슷한 모양을 나타낸다. 결과적으로 확률은 현대 유전학에서 근본도구가 되었다. 분자, 미립자, 열 및 빛의 양자들은 무작위로 운동하므로 가능성 게임처럼 수학적으로 취급할 수 있다. 예를 들어 굴뚝은 많은 미립자를 방출하고 미립자들이 굴뚝으로부터 나옴에 따라 미립자들은 바람 부는 방향으로 지면과 평행하게 옮겨간다.

미립자는 또한 동전던지기 게임의 도박꾼 운과 유사하게 위·아래로 움직인다. 따라서 일정시간 후 지면으로부터 미립자의 높이는 게임 규칙에 의해 결정된다. 물리학자는 단일 미립자운동보다는 미립자덩어리의 움직임에 더 관심을 둔다. 주어진 시간에 특정한 높이 밑으로 떨어지는 미립자들의 비율을 측정하는 것은 이와 상응하는 가능성 게임에 대한 문제의 수학적인 해(解)와 관련하여 해결할 수 있다.

확률은 보험기관의 합리적인 이론근거를 형성한다.

보험회사는 특정 개인의 건강·생명·복지·재산에 일련의 투기를 하는 투기자에 비유할 수 있다. 과거 기록을 이용하여 보험업자는 게임에서 앞서가는 요구조건을 얻기 위해 확률론을 사용한다. 수학적 확률론의 2가지 중요한 결과는 큰 수의 법칙과 중심극한정리이다. 큰 수의 법칙은 만일 무작위실험을 동일한 조건아래서 여러 번 반복하여 그결과를 기록한다면 어떤 특정한 결과가 발생하는 전체수행에 대한 비율은 그결과가 나올 확률과 대충 같게 됨을 의미한다.

이 법칙의 중요한 결과로 확률은 많은 수행에서 각 결과의 상대도수(相對度數)를 조사하여 얻을 수 있다. 중심극한정리는 관찰하여 얻은 특정결과의 상대도수가 그 결과의 확률로부터 가질 수 있는 편차에 대한 정보를 준다. 이 법칙에 의하면, 이 편차는 일반확률법칙으로 결정되어 정규분포를 이룬다.