연속성

때때로 연속성은 x값들이 서로 가까워지면 함수의 y값들도 서로 가까워진다는 것으로도 표현되지만, '접근법'을 묻는다면 어려워진다. 근접한 x값들에 대해 y값들의 거리는 이 점들 근처에서 함수의 기울기에 의존하며, 함수가 갑자기 급등하지 않더라도 커질 수 있다. 예를 들면 y=1,000x에서 두 x값의 차이는 0.01이지만 해당하는 두 y값의 차이는 10이 된다.

한편 임의의 점 x에 대해 그것에 충분히 가깝게 점들을 택해 함수의 y값들이 원하는 만큼 근접하게 할 수 있다. 여기서는, 원하는 y값의 근접 정도보다 0.001배 이상 더 가깝도록 x값들을 택하면 된다. y값에 대한 원하는 접근정도 ε에 대해, x값들의 거리 δ가 존재하여(위의 예에서 δ는 0.001ε), x₀에서 δ거리 이내에 있는 임의의 x에 대해 f(x)가 f(x₀)에서 거리 ε 이내에 있게 되면 이때 함수 f(x)는 점 x₀에서 연속이라고 말함으로써 연속성이 정확하게 정의된다. x1일 때 함수값이 0이고, x＞1일 때 2인 함수는 점 x=1에서 불연속이다. 왜냐하면 1과 1보다 약간 더 큰 다른 어떤 점에 대해서도 그들의 함수값의 차이가 2보다 적지 않기 때문이다. 함수가 구간에 있는 각 점에서 연속이면, 이 함수는 그 구간에서 연속이라고 한다. 연속함수들의 합·차·곱도 연속이며, 분수함수는 분모가 0이 되는 점을 제외한 곳에서 연속이다. 연속성은 극한을 사용하여 정의될 수 있다. 즉

이면, f(x)는 f(x₀)에서 연속이다. 더 추상적인 정의는 위상수학에서와 같이 집합을 써서 정의할 수 있다. 즉 y값들의 어떤 닫힌집합에 대응하는 x값들의 집합도 닫힌집합이다.

연속함수는 물리적 상황에 가장 흔하게 나타나는 함수일 뿐 아니라 수리해석학에서 가장 기본적이고 널리 연구되는 함수이다.