스튀름-리우빌 문제
다른 표기 언어 Sturm-Liouville problem요약 주어진 2계 미분방정식에서 해가 그 미분방정식뿐 아니라 보통 경계치라고 하는 보조조건들을 만족하도록 상수값의 집합을 결정하는 문제.
이 문제를 푸는 원리는 1830년대 프랑스의 수학자 샤를 프랑수아 스튀름과 조지프 리우빌이 확립했고, 20세기에는 이 원리가 슈뢰딩거 방정식과 그 경계치의 풀이 같은 양자역학의 발전에 적용되었다.
예를 들어, x가 0이거나 어떤 수 α일 때 함수 y(x)가 0이 되는 방정식 y"＋c2y=0의 해 y(x) 를 구하는 문제가 있다고 하자. 함수 y=sincx는 위의 방정식을 만족하지만, c=±nπ/a(n=0, 1, 2,……)일 때에 한해서 보조조건을 만족시킨다. 이런 문제들은 고유값문제라고도 하며, 더 일반적으로는 보조조건 a1y(a)＋a2y'(a)=0과 a3y(b)＋a4y'(b)=0(a1,a2,a3,a4는 상수)을 만족하는 방정식 [p(x)y']'＋[q(x)－kr(x)]y=f(x)의 해를 찾는 문제와 관계가 있다. 이 방정식이 해를 갖는 경우를 알아내기 위해서는 동족 표준 제차방정식, 즉 함수 f(x)가 0인 방정식을 먼저 생각한다.
만일 함수 p, q, r이 적합한 조건들을 만족한다면, 위의 간단한 예처럼 이 방정식은 고유값이라고 하는 특정한 값 k와 대응하는 고유함수라고 하는 해족(解族)을 갖는다. 따라서 원래의 비(非)제차방정식에서 k값이 이러한 고유값들과 다르면, 이 문제는 단 하나의 해를 갖는다. k가 고유값 중 하나와 같으면, 이 문제는 함수 f(x)의 성질에 따라 해가 없거나 전체 해족을 갖는다.